,

หาสมาชิกในเซต $A$ โดยการหาคำตอบของสมการ

จะได้

$$\begin{eqnarray*} \log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& x+\log_65\\ \log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& x\log_66+\log_65\\ \log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& \log_66^x+\log_65\\ \log_6\left( 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x\right) &=& \log_6{6^x\cdot5}\\ 3\cdot 4^x +2\cdot 9^x &=& 5\cdot6^x\\ 3\cdot2^{2x}+2\cdot3^{2x}&=&5\cdot2^x\cdot3^x\\ \end{eqnarray*}$$

จากสมการด้านบน กำหนดให้

$$\begin{eqnarray*} a&=&2^x\\ b&=&3^x \end{eqnarray*}$$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} 3a^2+2b^2&=&5ab\\ 3a^2-5ab+2b^2&=&0\\ (3a-2b)(a-b)&=&0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$3a-2b=0\quad\text{หรือ}\quad a-b=0$$

กรณี $3a-2b=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 3a-2b&=&0\\ 3\cdot2^x-2\cdot3^x&=&0\\ 3\cdot2^x&=&2\cdot3^x\\ 2^{x-1}&=&3^{x-1}\\ \end{eqnarray*}$$

จากสมการด้านบน ฐานไม่เท่ากัน ทั้งสองข้างจะเท่ากันได้เมื่อเลขยกกำลังจะต้องเป็น $0$ เท่านั้น ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} x-1&=&0\\ x&=&1 \end{eqnarray*}$$

กรณี $a-b=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a-b&=&0\\ 2^x-3^x&=&0\\ 2^x&=&3^x \end{eqnarray*}$$

จากสมการด้านบน ฐานไม่เท่ากัน เลขยกกำลังของทั้งสองข้างจะต้องเท่ากับ $0$ ดังนั้น

$$x=0$$

จากนั้นนำค่าของ $x$ ที่ได้จากทั้งสองกรณีไปตรวจคำตอบ จะได้ว่าทั้งสองค่าเป็นคำตอบ จึงสรุปได้ว่า

$$A=\{0,1\}$$

,

จากสมการ

$$x+\sqrt{1-x^2} = 1+2x\sqrt{1-x^2}$$  

สังเกตุ $1+2\sqrt{1-x^2}$ มีพจน์ที่คล้ายกับ $2\text{นล}$ คือหน้าเป็น $x$ และหลังเป็น $\sqrt{1-x^2}$

ลองกระจาย

$$\begin{eqnarray*} (x+\sqrt{1-x^2})^2&=&x^2+2x\sqrt{1-x^2}+{1-x^2}\\ &=&1+2x\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} x+\sqrt{1-x^2} &=&1+2x\sqrt{1-x^2}\\ x+\sqrt{1-x^2}&=&\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2\\ \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2-\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)&=&0\\ \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(x+\sqrt{1-x^2}-1\right)&=&0 \end{eqnarray*}$$

จากสมการด้านบนจะได้ว่า

$$x+\sqrt{1-x^2}=0\quad\text{หรือ}\quad x+\sqrt{1-x^2}-1=0$$

กรณี $x+\sqrt{1-x^2}=0$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} x+\sqrt{1-x^2}&=&0\\ \sqrt{1-x^2}&=&-x\\ 1-x^2&=&x^2\\ 2x^2&=&1\\ x^2&=&\frac12 x&=&\pm\frac{1}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$$

นำค่า $x$ ที่ได้จากกรณีนี้ไปตรวจคำตอบ ปรากฎว่า $x=\frac{1}{\sqrt2}$ ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ และ $x=-\frac{1}{\sqrt2}$ เป็นคำตอบของสมการนี้

กรณี $x+\sqrt{1-x^2}-1=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x+\sqrt{1-x^2}-1&=&0\\ x+\sqrt{1-x^2}&=&1\\ \sqrt{1-x^2}&=&1-x\\ 1-x^2&=&(1-x)^2\\ 1-x^2&=&1-2x+x^2\\ 2x^2-2x&=&0\\ 2x(x-1)&=&0\\ x=0,1 \end{eqnarray*}$$

นำคำตอบที่ได้ในกรณีนี้ไปตรวจคำตอบจะได้ว่า $x=0$ และ $x=1$ เป็นคำตอบ

ดังนั้น

$$B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

,

จาก

$$A=\{0,1\}$$

และ

$$B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

จะได้ว่า

$$A\cup B=\{0,1,-\frac{1}{\sqrt2}\}$$

ดังนั้น

$$n(A\cup B)=3$$