ถ้า $\cos 5\theta = a\cos^5\theta+b\cos^3\theta+c\cos \theta$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ค่าของ $a^2 +b^2 +c^2$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่ง $5\theta$ เป็น $2\theta+3\theta$ แล้วกระจายผลบวก $\cos$[/STEP]

แบ่ง $5\theta$ เป็น $2\theta+3\theta$ แล้วกระจายผลบวก $\cos$ จากนั้นใช้สูตรกระจาย $\cos3\theta$ และ $\sin3\theta $

\begin{eqnarray*}
\cos5\theta & = & \cos\left(2\theta+3\theta\right)\\
 & = & \cos2\theta\cos3\theta-\sin2\theta\sin3\theta\\
 & = & \left(2\cos^{2}\theta-1\right)\left(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\right)-\left(2\sin\theta\cos\theta\right)\left(3\sin\theta-4\sin^{3}\theta\right)\\
 & = & \left[8\cos^{5}\theta-6\cos^{3}\theta-4\cos^{3}\theta+3\cos\theta\right]-\left[6\sin^{2}\theta\cos\theta-8\sin^{4}\theta\cos\theta\right]\\
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ และต่อไปนี้เพื่อความสะดวกจะใช้ $c$ แทน $\cos\theta$

\begin{eqnarray*}
&=&\left[8c^5-10c^3+3c\right] - \left[ 6\left(1-c^2\right)c-8\left(1-c^2\right)^2c\right]\\
&=&\left[8c^5-10c^3+3c\right] - \left[6c-6c^3-8c+16c^3-8c^5\right]\\
&=& \left[8c^5-10c^3+3c\right] - \left[-8c^5+10c^3-2c\right]\\
&=& 16c^5-20c^3+5c
\end{eqnarray*}

หรือเขียนเต็มๆ ได้เป็น

$$\cos5\theta = 16\cos^5\theta - 20 \cos^3\theta + 5\cos\theta$$

เราจึงสรุปได้ว่า $a=16,b=-20$ และ $c=5$

[STEP] คำนวณค่าของ $a^2+b^2+c^2$ [/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^2+b^2+c^2&=&16^2+(-20)^2+5^2\\
&=&256+400+25\\
&=&681
\end{eqnarray*}

 

[ANS]$681$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า