ปุ๋ยสองชนิด คือ ชนิด $A$ และชนิด $B$ โดยแต่ละชนิดบรรจุถุงละ $100$ กรัม ส่วนประกอบและราคาของแต่ละชนิดเป็นดังนี้

ชนิดปุ๋ย สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถุงละ
ชนิด A $2$ หน่วย $1$ หน่วย $80$ หน่วย $10$ บาท
ชนิด B $3$ หน่วย $3$ หน่วย $60$ หน่วย $12$ บาท

นักวิจัยทดลองผสมปุ๋ยชนิด $A $และ ชนิด $B$ ให้พืชในแปลงทดลอง โดยส่วนผสมปุ๋ยที่ได้ ประกอบด้วยสารอาหาร N อย่างน้อย $18$ หน่วย สารอาหาร P อย่างน้อย $12$ หน่วย และสารอาหาร K อย่างน้อย $480$ หน่วย

ค่าใช้จ่ายน้อยสุดในการผสมปุ๋ยทั้งสองชนิดให้ได้ตามเงื่อนไขของนักวิจัยเท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างสมการจุดประสงค์ และสมการเงื่อนไขพื้นที่ปิดล้อม[/STEP]

โจทย์ถามค่าใช้จ่ายที่น้อยที่สุด แสดงว่าสมการจุดประส่งจะต้องเป็นสมการของค่าใช้จ่าย และเราจะต้องซี้อปุ๋ย $A$ และ $B$ มาผสม แต่เรายังไม่รู้ว่าจะต้องซื้ออย่างละกี่ถุง ดังนั้นเราจะกำหนดให้

ซื้อปุ๋ย $A$ จำนวน $x$ ถุง
ซื้อปุ๋ย $B$ จำนวน $y$ ถุง

เราจึงได้ว่าสมการค่าใช้จ่ายคือ

$$P(x,y)=10x+12y$$

จากนั้นเราจะมาดูเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้

ประกอบด้วยสารอาหาร N อย่างน้อย $18$ หน่วยจะได้

$$2x+3y\geq18$$

ประกอบด้วยสารอาหาร P อย่างน้อย $12$ หน่วยจะได้สมการ $$x+3y\geq12$$

ประกอบด้วยสารอาหาร K อย่างน้อย $480$ หน่วยจะได้สมการ $$80x+60y\geq480$$

และนอกจากนั้นเราต้องมีเงื่อนไขตามความเป็นจริงที่ว่า

\begin{eqnarray*}
x &\geq & 0 \\
y &\geq & 0
\end{eqnarray*}

[STEP]วาดพื้นที่ปิดล้อมด้วยอสมการเงื่อนไข[/STEP]

จากเงื่อนไข

\begin{eqnarray*}
2x+3y&\geq&18\\
x+3y&\geq&12\\
80x+60y&\geq&480\\
x&\geq&0\\
y&\geq&0
\end{eqnarray*}

วาดเส้นตรงของอสมการทั้งหมด จะได้

แรเงาส่วนที่ต้องการของแต่ละอสมการและเราเฉพาะส่วนที่ซ้ำกันทั้งหมดเท่านั้นจะได้

จากรูปเราจะได้จุดมุมทั้งหมด $4$ จุด

หาว่าแต่ละจุดคือจุดใดบ้าง

จุดที่ $1$ คือ $(0,8)$

จุดที่ $2$ คือ จุดตัดระหว่างเส้นตรง $80x+60y=480$ กับเส้นตรง $2x+3y=18$

นำสองเส้นมาแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัด

\begin{eqnarray*}
80x+60y&=&480\\
4x+3y&=&24\qquad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

$$2x+3y=18\qquad\cdots(2)$$

นำ $(1)-(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2x&=&6\\
x&=&3
\end{eqnarray*}

นำ $x=3$ แทนใน $(2)$ จะได้

$$y=4$$

ดังนั้น จุดที่ $2$ คือ $(3,4)$


จุดที่ $3$ คือ จุดตัดระหว่างเส้นตรง $2x+3y=18$ กับเส้นตรง $x+3y=12$

นำสองเส้นมาแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัด

\begin{eqnarray*}
2x+3y&=&18&\qquad\cdots(3)\\
x+3y&=&12&\qquad\cdots(4)
\end{eqnarray*}

นำ $(3)-(4)$ จะได้

$$x=6$$

นำ $x=6$ แทนใน $(4)$ จะได้

$$y=2$$

ดังนั้นจุดที่ $3$ คือ $(6,2)$

จุดที่ $4$ คือ $(12,0)$

[STEP]หาค่าในสมการจุดประสงค์ของแต่ละจุด[/STEP]

จากสมการจุดประสงค์ $P(x,y)=10x+12y$ ที่ได้ในขั้นตอนแรก แทนค่าจุดต่างๆ ลงไปจะได้

จุดมุม ค่าของ $P(x,y)=10x+12y$
$(0,8)$ $10(0)+12(8)=96$
$(3,4)$ $10(3)+12(4)=78$
$(6,2)$ $10(6)+12(2)=84$
$(12,0)$ $10(12)+12(0)=120$

เราต้องการค่าใช้จ่ายที่น้อยที่สุด ดังนั้นค่าใช้จ่ายที่น้อยที่สุดคือ $78$ บาท

[ANS]$78$ บาท[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาคำตอบของปัญหากำหนดการเชิงเส้น