จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $abc=1$ และ $A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a\\
b & 0 & 0\\
0 & c & 0
\end{array}\right]$ และ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $3\times3$ แล้ว $\det\left(A^2+A+I\right)=0$

(ข) ถ้า $A=\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
b_{1} & b_{2} & b_{3}\\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{array}\right]$ โดยที่ $\det(A) = 3$ แล้ว $\det\left[\begin{array}{ccc}
a_{1}-2b_{1}+3c_{1} & a_{2}-2b_{2}+3c_{2} & a_{3}-2b_{3}+3c_{3}\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
3c_{1} & 3c_{2} & 3c_{3}
\end{array}\right]=-18$

ข้อใดกล่าวถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\det{\left(A^2+A+I\right)}$ ตรวจสอบข้อความ (ก)[/STEP]

เราต้องการตรวจสอบ $\det{\left(A^2+A+I\right)}$

ซึ่ง $\det$ ไม่สามารถกระจายเข้าไปในเครื่องหมายบวกได้ ดังนั้นเราจะต้องคำนวณผลบวกเมทริกซ์ $A^2+A+I$ ออกมาเสียก่อน

เริ่มด้วยการหา $A^2$

\begin{eqnarray*}
A^2&=&\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a\\
b & 0 & 0\\
0 & c & 0
\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a\\
b & 0 & 0\\
0 & c & 0
\end{array}\right]\\
&=&\left[\begin{array}{ccc}
0&ac&0\\
0&0&ab\\
bc&0&0
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

จากนั้นนำมาบวกกับ $A$ และ $I$

\begin{eqnarray*}
A^2+A+I&=&\left[\begin{array}{ccc}
0&ac&0\\
0&0&ab\\
bc&0&0
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a\\
b & 0 & 0\\
0 & c & 0
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right]\\
&=&\left[\begin{array}{ccc}
1&ac&a\\
b&1&ab\\
bc&c&1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\det(A^2+A+I)&=&\det\left(\left[\begin{array}{ccc}
1&ac&a\\
b&1&ab\\
bc&c&1
\end{array}\right]\right)
\end{eqnarray*}

เราจะใช้วิธีการหา $\det$ โดยการต่อแถว จะได้

แทนค่า $abc=1$ จะได้ค่า $\det$ ที่เราต้องการ

\begin{eqnarray*}
\det\left(A^2+A+I\right)&=&(1+(abc)^2+abc)-(abc+abc+abc)\\
&=&(1+1^2+1)-(1+1+1)\\
&=&3-3\\
&=&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ข้อความ (ก) ถูก

[STEP]ใช้การดำเนินการตามแถวปรับเมทริกซ์ $A$ จนตรงกับเมทริกซ์ในข้อ (ข)[/STEP]

ในข้อ (ข) เราจะใช้สมบัติการดำเนินการตามแถวกับ $\det$ เช่น การคูณแถวใดแถวหนึ่งด้วยค่าคงที่ จะได้ว่า $\det$ ใหม่ที่ได้จะเท่ากับ ค่าคงที่ที่คูณคูณกับ $\det$ เก่า การสลับแถว จะทำให้ $\det$ ใหม่ สลับเครื่องหมายกับ $\det$ เก่า และการนำค่าคงที่คูณแถวหนึ่งบวกอีกแถวหนึ่งแล้วใส่ค่าไว้ในแถวนั้น จะไม่ทำให้ $\det$ เปลี่ยน

จาก 

$$A=\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
b_{1} & b_{2} & b_{3}\\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{array}\right]$$

นำ $2$ คูณแถวที่ $2$ ของ $A$

$$A\overset{2R_2}\longrightarrow B=\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{array}\right]$$

จะได้ว่า $\det{B}=2\det{A}=6$

นำ $3$ คูณแถวที่ $3$ ของ $B$ 

$$B\overset{3R_3}\longrightarrow C=\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
3c_{1} & 3c_{2} & 3c_{3}
\end{array}\right]$$

ดังนั้น $\det{C}=3\det{B}=18$

นำ $-1$ คูณแถวที่ $2$ ของ $C$ แล้วบวกกับแถวที่ $1$ แล้วนำค่าที่ได้ไปใส่ไว้ในแถวที่ $1$

$$C\overset{-R_2+R_1}\longrightarrow D=\left[\begin{array}{ccc}
-2b_1+a_{1} & -2b_2+a_{2} & -2b_3+a_{3}\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
3c_{1} & 3c_{2} & 3c_{3}
\end{array}\right]$$

ซึ่ง $\det$ ใหม่ที่ได้จะเท่าเดิม คือ $\det{D}=\det{C}=18$

นำ $1$ คูณแถวที่ $3$ ของ $D$ บวกกับแถวที่ $1$ จากนั้นนำค่าที่ได้ไปใส่ไว้ที่แถวที่ $1$

$$D\overset{R_3+R_1}\longrightarrow E=\left[\begin{array}{ccc}
a_{1}-2b_1+3c_1 & a_{2}-2b_2+3c_2 &a_{3}-2b_3+3c_3\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
3c_{1} & 3c_{2} & 3c_{3}
\end{array}\right]$$

ซึ่ง $\det$ ที่ได้ก็จะยังเท่าเดิม คือ $\det(E)=\det(D)=18$

เราจึงสรุปได้ว่า

$$\det\left[\begin{array}{ccc}
a_{1}-2b_1+3c_1 & a_{2}-2b_2+3c_2 &a_{3}-2b_3+3c_3\\
2b_{1} & 2b_{2} & 2b_{3}\\
3c_{1} & 3c_{2} & 3c_{3}
\end{array}\right]=18$$

ในขณะที่ข้อความ (ข) กล่าวว่าเท่ากับ $-18$ ข้อ (ข) จึงกล่าวผิด

[ANS] (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การดำเนินการตามแถว