,

แก้สมการ หาค่า $x$ โดยเริ่มต้นจากเปลี่ยนฐานของ $\log$ แต่ละตัวให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังฐาน $2$ แล้วย้ายกำลังมาด้านหน้า $\log$

\begin{eqnarray*}
\log_2{x}+\log_4{x}+\log_8{x}+\log_{16}{x}-2\log_{64}{x}&=&7\\
\log_2{x}+\log_{2^2}{x}+\log_{2^3}{x}+\log_{2^4}{x}-2\log_{2^6}{x}&=&7\\
\log_2{x}+\frac12\log_{2}{x}+\frac13\log_{2}{x}+\frac14\log_{2}{x}-\frac{\cancel{2}}{\cancelto{3}{6}}\log_{2}{x}&=&7\\
\log_2{x}+\frac12\log_{2}{x}+\frac13\log_{2}{x}+\frac14\log_{2}{x}-\frac13\log_{2}{x}&=&7\\
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าพจน์ด้านซ้ายทุกพจน์มี $\log_2x$ เป็นตัวร่วม เราจึงดึงตัวร่วมนี้ออก

\begin{eqnarray*}
\left(1+\frac{1}{2}\cancel{+\frac{1}{3}}+\frac{1}{4}\cancel{-\frac{1}{3}}\right)\log_{2}x & = & 7\\
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\log_{2}x & = & 7\\
\left(\frac{4}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\right)\log_{2}x & = & 7\\
\frac{7}{4}\log_{2}x & = & 7
\end{eqnarray*}

ย้าย $\frac74$ ไปหารด้านขวาของสมการ แล้วเปลี่ยนค่าคงตัวด้านขวาให้อยู่ในรูป $\log$ ฐานสองแบบเดียวกับทางซ้าย โดยการคูณด้วย $\log_22$ ซึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่งเข้าไปที่ค่าคงตัว

\begin{eqnarray*}
\log_{2}x & = & 7\times\frac{4}{7}\\
\log_{2}x & = & 4\\
\log_{2}x & = & 4\log_{2}2\\
\log_{2}x & = & \log_{2}2^{4}\\
\log_{2}x & = & \log_{2}16
\end{eqnarray*}

เมื่อ $\log$ ทั้งสองข้างมีฐานเท่ากันแล้ว เราจึงปลด $\log_2$ ทิ้งได้ จึงได้ $x=16$ ซึ่งเมื่อทดลองแทนค่าลงในสมการเริ่มต้นแล้วก็เป็นจริง เราจึงได้ค่า $x=16$ ตามที่เราต้องการ

จากนั้นแทนค่า $x=16$ ที่ได้ลงใน $x-3\sqrt{x}$ เพื่อตรวจสอบว่ามีค่าเท่ากับ $4$ ตามที่ข้อความ (ก) กล่าวไว้หรือไม่

\begin{eqnarray*}
x-3\sqrt{x}&=&16-3\sqrt{16}\\
&=&16-3\cdot4\\
&=&16-12\\
&=&4
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าเท่ากับ $4$ จริง ดังนั้นข้อความ (ก) กล่าวถูกต้อง

,

คำนวณค่า $a,b,c$ จากแต่ละสมการ

หาค่า $a$ โดยเริ่มจากการย้าย $\log_32$ ไปหารด้านขวา คูณด้วย $-1$ ตลอดเพื่อให้หน้า $a$ ไม่ติดลบ

\begin{eqnarray*}
\left(1-a\right)\log_{3}2 & = & 2-\log_{3}5\\
\left(1-a\right) & = & \frac{2-\log_{3}5}{\log_{3}2}\\
a-1 & = & \frac{\log_{3}5-2}{\log_{3}2}\\
a & = & \frac{\log_{3}5-2}{\log_{3}2}+1
\end{eqnarray*}

คำนวณค่า $a$

\begin{eqnarray*}
a & = & \frac{\log_{3}5-2\log_{3}3}{\log_{3}2}+1\\
 & = & \frac{\log_{3}5-\log_{3}3^{2}}{\log_{3}2}+1\\
 & = & \frac{\log_{3}\frac{5}{3^{2}}}{\log_{3}2}+1\\
 & = & \log_{2}\frac{5}{3^{2}}+1
\end{eqnarray*}

ปรับ $1$ เป็น $\log$ ฐาน $2$ เหมือนพจน์ข้างหน้า แล้วรวมเข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
a & = & \log_{2}\frac{5}{9}+\log_{2}2\\
 & = & \log_{2}\frac{5\times2}{9}\\
 & = & \log_{2}\frac{10}{9}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a=\log_2\frac{10}{9}$

คำนวณค่า $b$ ในทำนองเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
\left(3+b\right)\log_{5}2 & = & 2-\log_{5}3\\
\left(3+b\right) & = & \frac{2-\log_{5}3}{\log_{5}2}\\
b & = & \frac{2-\log_{5}3}{\log_{5}2}-3
\end{eqnarray*}

เปลี่ยน $2$ เป็น $\log$ ฐาน $5$ เหมือนพจน์ $\log_53$ โดยการคูณด้วย $\log_55$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ $1$

\begin{eqnarray*}
b & = & \frac{2\log_{5}5-\log_{5}3}{\log_{5}2}-3\\
 & = & \frac{\log_{5}5^{2}-\log_{5}3}{\log_{5}2}-3\\
 & = & \frac{\log_{5}\frac{5^{2}}{3}}{\log_{5}2}-3\\
 & = & \log_{2}\frac{5^{2}}{3}-3
\end{eqnarray*}

ปรับ $3$ เป็น $\log$ ฐาน $2$ โดยคูณด้วย $\log_22$ ซึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง

\begin{eqnarray*}
b & = & \log_{2}\frac{25}{3}-3\log_{2}2\\
 & = & \log_{2}\frac{25}{3}-\log_{2}2^{3}\\
 & = & \log_{2}\frac{25}{3\times2^{3}}\\
 & = & \log_{2}\frac{25}{24}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $b=\log_2\frac{25}{24}$

คำนวณค่า $c$ จากสมการที่สาม

\begin{eqnarray*}
\left(3+c\right)\log_{7}2 & = & 4\log_{7}3-\log_{7}5\\
\left(3+c\right) & = & \frac{4\log_{7}3-\log_{7}5}{\log_{7}2}\\
c & = & \frac{4\log_{7}3-\log_{7}5}{\log_{7}2}-3
\end{eqnarray*}

รวมเป็น $\log$ ตัวเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
c & = & \frac{\log_{7}3^{4}-\log_{7}5}{\log_{7}2}-3\\
 & = & \frac{\log_{7}\frac{3^{4}}{5}}{\log_{7}2}-3\\
 & = & \log_{2}\frac{3^{4}}{5}-3\\
 & = & \log_{2}\frac{81}{5}-3
\end{eqnarray*}

เปลี่ยน $3$ เป็น $\log$ ฐาน $2$ 

\begin{eqnarray*}
c & = & \log_{2}\frac{81}{5}-3\log_{2}2\\
 & = & \log_{2}\frac{81}{5}-\log_{2}2^{3}\\
 & = & \log_{2}\frac{81}{5\times2^{3}}\\
 & = & \log_{2}\frac{81}{40}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ว่า $c=\log_2\frac{81}{40}$

แทนค่า $a=\log_2\frac{10}{9}$, $b=\log_2\frac{25}{24}$ และ $c=\log_2\frac{81}{40}$ ลงในสมการที่ข้อสรุปของ (ข)

\begin{eqnarray*}
2a+b-c & = & 2+5\log_{2}5-9\log_{2}3\\
2\log_{2}\frac{10}{9}+\log_{2}\frac{25}{24}-\log_{2}\frac{81}{40} & = & 2+5\log_{2}5-9\log_{2}3\\
2\log_{2}\frac{10}{9}+\log_{2}\frac{25}{24}-\log_{2}\frac{81}{40} & = & 2\log_{2}2+5\log_{2}5-9\log_{2}3
\end{eqnarray*}

ย้ายสัมประสิทธิ์หน้า $\log$ ไปเป็นเลขชี้กำลังหลัง $\log$ ทั้งหมด แล้วรวมเป็นพจน์เดียวกันเพราะฐานเท่ากันหมดแล้ว

\begin{eqnarray*}
\log_{2}\left(\frac{10}{9}\right)^{2}+\log_{2}\frac{25}{24}-\log_{2}\frac{81}{40} & = & \log_{2}2^{2}+\log_{2}5^{5}-\log_{2}3^{9}\\
\log_{2}\left(\frac{100}{81}\times\frac{25}{24}\times\frac{40}{81}\right) & = & \log_{2}\left(\frac{4\times5^{5}}{3^{9}}\right)\\
\log_{2}\left(\frac{2^{2}\times5^{5}}{3^{9}}\right) & = & \log_{2}\left(\frac{2^{2}\times5^{5}}{3^{9}}\right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าทั้งสองข้างของสมการมีค่าเท่ากัน ดังนั้นข้อความ (ข) กล่าวได้ถูกต้องแล้ว