กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $$\bar{z} - 1 -4i = 3i (z-i)$$  ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $z$[/STEP]

เนื่องจาก $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน เราจึงกำหนดให้ $z=a+bi$ แล้วแทนลงไปในสมการที่โจทย์กำหนดมา แล้วแยกส่วนจริงกับส่วนจินตภาพของแต่ละข้างของสมการออกจากกัน

\begin{eqnarray*}
\bar{z} - 1 -4i &=& 3i (z-i)\\
(a-bi)-1-4i&=&3i(a+bi-i)\\
(a-1)+(-b-4)i&=&3ai-3b+3\\
(a-1)+(-b-4)i&=&(-3b+3)+3ai
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบนจะได้ว่า ส่วนจริงจะต้องเท่ากันและส่วนจินตภาพจะต้องเท่ากัน ทำให้เราได้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
a-1&=&-3b+3 &\qquad\cdots(1)\\
-b-4&=&3a &\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

จัดรูประบบสมการด้านบนใหม่จะได้

\begin{eqnarray*}
a+3b&=&4 &\qquad\cdots(3)\\
3a+b&=&-4 &\qquad\cdots(4)
\end{eqnarray*}

นำ $3\cdot(3)$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ $a$ เท่ากัน

$$3a+9b=12\qquad\cdots(5)$$

จากนั้นเมื่อจับสมการ $(5)-(4)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
9b - b &=& 14-(-4)\\
8b&=&16\\
b&=&2
\end{eqnarray*}

นำ $b=2$ แทนในสมการที่ $(3)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a+3(2)&=&4\\
a&=&-2
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $a=-2$ และ $b=2$  ดังนั้น $z=-2+2i$

[STEP]พิจารณาตัวเลือก A[/STEP]

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $z+\bar{z}$ แล้วคำนวณค่าออกมา

\begin{eqnarray*}
z+\bar{z}&=& (-2+2i)+\left(\overline{-2+2i}\right)\\
&=&(-2+2i)+(-2-2i)\\
&=&-4
\end{eqnarray*}

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $i(z-\bar{z})$ จะได้

\begin{eqnarray*}
i(z-\bar{z})&=&i((-2+2i)-(-2-2i))\\
&=&i(4i)\\
&=&4i^2\\
&=&-4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $z+\bar{z}$ เท่ากับ  $i\left( z- \bar{z}\right)$ ถูกต้องแล้ว

[STEP]พิจารณาตัวเลือก B[/STEP]

คำนวณ $\left|z+2\right|$ โดยแทนค่า $z=-2+2i$

\begin{eqnarray*}
\left|z+2\right|&=&\left|-2+2i+2\right|\\
&=&\left|2i\right|\\
&=&2
\end{eqnarray*}

ดังน้้น $\left|z+2\right|=2$ ถูกต้องอยู่แล้ว

[STEP]พิจารณาตัวเลือก C[/STEP]

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $\bar{z}^2-8i$

\begin{eqnarray*}
\bar{z}^2-8i&=&(-2-2i)^2-8i\\
&=&4+8i+4i^2-8i\\
&=&4+8i-4-8i\\
&=&0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่า $\bar{z}^2-8i=0$ ถูกต้องแล้วเช่นกัน

[STEP]พิจารณาตัวเลือก D[/STEP]

คำนวณ $z(1-i)^2-8i$ โดยแทนค่า $z=-2+2i$

\begin{eqnarray*}
z(1-i)^3-8i&=&(-2+2i)(1^3-3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2-i^3)-8i\\
&=&(-2+2i)(1-3i-3+i)-8i\\
&=&(-2+2i)(-2-2i)-8i\\
&=&((-2)^2-(2i)^2)-8i\\
&=&(4+4)-8i\\
&=&8-8i
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น $z(1-i)^3-8i=0$ จึงกล่าวไม่ถูกต้อง

[ANS]$z(1-i)^3 - 8i = 0$ ไม่ถูกต้อง[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการจำนวนเชิงซ้อน