,

เนื่องจาก $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน เราจึงกำหนดให้ $z=a+bi$ แล้วแทนลงไปในสมการที่โจทย์กำหนดมา แล้วแยกส่วนจริงกับส่วนจินตภาพของแต่ละข้างของสมการออกจากกัน

$$\begin{eqnarray*} \bar{z} - 1 -4i &=& 3i (z-i)\\ (a-bi)-1-4i&=&3i(a+bi-i)\\ (a-1)+(-b-4)i&=&3ai-3b+3\\ (a-1)+(-b-4)i&=&(-3b+3)+3ai \end{eqnarray*}$$

จากสมการด้านบนจะได้ว่า ส่วนจริงจะต้องเท่ากันและส่วนจินตภาพจะต้องเท่ากัน ทำให้เราได้ระบบสมการ

$$\begin{eqnarray*} a-1&=&-3b+3 &\qquad\cdots(1)\\ -b-4&=&3a &\qquad\cdots(2) \end{eqnarray*}$$

จัดรูประบบสมการด้านบนใหม่จะได้

$$\begin{eqnarray*} a+3b&=&4 &\qquad\cdots(3)\\ 3a+b&=&-4 &\qquad\cdots(4) \end{eqnarray*}$$

นำ $3\cdot(3)$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ $a$ เท่ากัน

$$3a+9b=12\qquad\cdots(5)$$

จากนั้นเมื่อจับสมการ $(5)-(4)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 9b - b &=& 14-(-4)\\ 8b&=&16\\ b&=&2 \end{eqnarray*}$$

นำ $b=2$ แทนในสมการที่ $(3)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a+3(2)&=&4\\ a&=&-2 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้ $a=-2$ และ $b=2$  ดังนั้น $z=-2+2i$

,

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $z+\bar{z}$ แล้วคำนวณค่าออกมา

$$\begin{eqnarray*} z+\bar{z}&=& (-2+2i)+\left(\overline{-2+2i}\right)\\ &=&(-2+2i)+(-2-2i)\\ &=&-4 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $i(z-\bar{z})$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} i(z-\bar{z})&=&i((-2+2i)-(-2-2i))\\ &=&i(4i)\\ &=&4i^2\\ &=&-4 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $z+\bar{z}$ เท่ากับ  $i\left( z- \bar{z}\right)$ ถูกต้องแล้ว

,

คำนวณ $\left|z+2\right|$ โดยแทนค่า $z=-2+2i$

$$\begin{eqnarray*} \left|z+2\right|&=&\left|-2+2i+2\right|\\ &=&\left|2i\right|\\ &=&2 \end{eqnarray*}$$

ดังน้้น $\left|z+2\right|=2$ ถูกต้องอยู่แล้ว

,

แทนค่า $z=-2+2i$ ลงใน $\bar{z}^2-8i$

$$\begin{eqnarray*} \bar{z}^2-8i&=&(-2-2i)^2-8i\\ &=&4+8i+4i^2-8i\\ &=&4+8i-4-8i\\ &=&0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะได้ว่า $\bar{z}^2-8i=0$ ถูกต้องแล้วเช่นกัน

,

คำนวณ $z(1-i)^2-8i$ โดยแทนค่า $z=-2+2i$

$$\begin{eqnarray*} z(1-i)^3-8i&=&(-2+2i)(1^3-3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2-i^3)-8i\\ &=&(-2+2i)(1-3i-3+i)-8i\\ &=&(-2+2i)(-2-2i)-8i\\ &=&((-2)^2-(2i)^2)-8i\\ &=&(4+4)-8i\\ &=&8-8i \end{eqnarray*}$$

ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น $z(1-i)^3-8i=0$ จึงกล่าวไม่ถูกต้อง