กำหนดให้ $a_n = \dfrac{n^2}{16n^2-4}$ เมื่อ $n=1,2,3,\cdots$ ถ้า 

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}=\frac{a}{b}$$

โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมี ห.ร.ม.ของ $a$ กับ $b$ เท่ากับ $1$ แล้ว $a^2+b^2$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $a_n$ ให้อยู่ในรูปที่คำนวณอนุกรมเทเลสโคปได้ง่าย[/STEP]

จาก $a_n=\frac{n^2}{16n^2-4}$ แยกตัวประกอบที่ตัวส่วนจะได้

\begin{eqnarray*}
a_n&=&\frac{n^2}{16n^2-4}\\
&=&\frac{n^2}{4(n^2-1)}\\
&=&\frac{n^2}{4(2n-1)(2n+1)}
\end{eqnarray*}

จากด้านบนเรามี $n^2$ เราจะพยายามจัดรูปให้มีการแยกตัวประกอบที่คล้ายกับด้านล่าง คือ ทำให้เกิด $(2n-1)(2n+1)$

\begin{eqnarray*}
a_n&=&\frac{n^2}{4(2n-1)(2n+1)}\\
&=&\frac{n^2-\left(\frac12\right)^2+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\
&=&\frac{(n-\frac12)(n+\frac12)+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\
&=&\frac{\frac{(2n-1)}{2}\cdot\frac{(2n+1)}{2}+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\
\end{eqnarray*}

จัดรูปต่อ

\begin{eqnarray*}
a_n&=&\frac{\frac14\left[(2n-1)(2n+1)+1\right]}{4(2n-1)(2n+1)}\\
&=&\frac{1}{16}\left[\frac{(2n-1)(2n+1)+1}{(2n-1)(2n+1)}\right]\\
&=&\frac{1}{16}\left[\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right]\\
&=&\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right]
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $a_n$ แบ่งเป็นสองส่วน คือ ค่าคงตัวบวกกับ เศษส่วนที่สามารถแยกเศษส่วนย่อยแล้วคำนวณอนุกรมเทเลสโคปได้ง่ายแล้ว

[STEP]หาค่า $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_1+a_1+a_3+\cdots+a_n&=&\sum_{i=1}^na_i\\
&=&\sum_{i=1}^n\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\
&=&\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\left[1+\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\
&=&\frac{1}{16}\left[\sum_{i=1}^n1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\
&=&\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n1+\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\\
&=&\frac{n}{16}+\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}
\end{eqnarray*}

พิจารณา $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$$

จะได้ว่าเป็นอนุกรมเทเลสโคป ดังนั้น

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}}$

\begin{eqnarray*}
&=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{\frac12}{(2n-1)}-\frac{\frac12}{(2n+1)}\right]\\
&=&\frac12\sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)}\right]\\
&=&\frac12\left[\left(\frac11-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\
&=&\frac12\left[\left(\frac11-\cancel{\frac13}\right)+\left(\cancel{\frac13}-\bcancel{\frac15}\right)+\left(\bcancel{\frac15}-\cancel{\frac17}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{(2n-1)}}-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\
&=&\frac12\left[1-\frac{1}{(2n+1)}\right]
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n&=&\frac{n}{16}+\frac{1}{16}\left[\frac12\left(1-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\
&=&\frac{n}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32(2n+1)}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณลิมิต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{n}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32(2n+1)}}{n}\\
&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{16}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{32n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{32n(2n+1)}\\
&=&\frac{1}{16}+0+0\\
&=&\frac{1}{16}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า ห.ร.ม. ของ $1$ กับ $16$ เท่ากับ $1$ อยู่แล้ว ดังนั้น $a=1$ และ $b=16$

[STEP]หาค่า $a^2+b^2$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^2+b^2&=&1^1+16^2\\
&=&1+256\\
&=&257
\end{eqnarray*}

[ANS]$257$[/ANS]

ในขั้นตอนการจัดรูป $a_n=\frac{n^2}{16n^2-4}$ ให้อยู่ในรูปที่คำนวณอนุกรมเทเลสโคปง่ายๆ น้องบางคนอาจสงสัยว่าเวลาเจอโจทย์จริงจะรูปได้อย่างไรว่าต้องบวกเข้าและลบออกด้วย $\left(\frac12\right)^2$ ที่จริงเราไม่จำเป็นต้องใช้วิธีนี้ก็ได้ครับ การจัดรูปสามารถใช้วิธีการหารยาว $n^2$ ด้วย $16n^2-4$ ก็จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน ซึ่งผลที่ได้ในการหาร $n^2$ ด้วย $16n^2-4$ จะได้ผลหารเท่ากับ $\frac{1}{16}$ และเศษเหลือจากการหารเป็น $\frac14$ เมื่อนำมาเขียนในรูปผลหาร

\begin{eqnarray*}
\frac{\text{ตัวตั้ง}}{\text{ตัวหาร}} &=& \text{ผลหาร} + \frac{\text{เศษ}}{\text{ตัวหาร}}\\
\frac{n^2}{16n^2-4} &=& \frac{1}{16} + \frac{\frac14}{16n^2-4}\\
&=&\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right]
\end{eqnarray*}

เช่นเดียวกันกับวิธีด้านบน

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตของลำดับ