,

จาก $a_n=\frac{n^2}{16n^2-4}$ แยกตัวประกอบที่ตัวส่วนจะได้

$$\begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{n^2}{16n^2-4}\\ &=&\frac{n^2}{4(n^2-1)}\\ &=&\frac{n^2}{4(2n-1)(2n+1)} \end{eqnarray*}$$

จากด้านบนเรามี $n^2$ เราจะพยายามจัดรูปให้มีการแยกตัวประกอบที่คล้ายกับด้านล่าง คือ ทำให้เกิด $(2n-1)(2n+1)$

$$\begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{n^2}{4(2n-1)(2n+1)}\\ &=&\frac{n^2-\left(\frac12\right)^2+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\ &=&\frac{(n-\frac12)(n+\frac12)+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\ &=&\frac{\frac{(2n-1)}{2}\cdot\frac{(2n+1)}{2}+\frac14}{4(2n-1)(2n+1)}\\ \end{eqnarray*}$$

จัดรูปต่อ

$$\begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{\frac14\left[(2n-1)(2n+1)+1\right]}{4(2n-1)(2n+1)}\\ &=&\frac{1}{16}\left[\frac{(2n-1)(2n+1)+1}{(2n-1)(2n+1)}\right]\\ &=&\frac{1}{16}\left[\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right]\\ &=&\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right] \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า $a_n$ แบ่งเป็นสองส่วน คือ ค่าคงตัวบวกกับ เศษส่วนที่สามารถแยกเศษส่วนย่อยแล้วคำนวณอนุกรมเทเลสโคปได้ง่ายแล้ว

,

$$\begin{eqnarray*} a_1+a_1+a_3+\cdots+a_n&=&\sum_{i=1}^na_i\\ &=&\sum_{i=1}^n\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\ &=&\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\left[1+\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\ &=&\frac{1}{16}\left[\sum_{i=1}^n1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\right]\\ &=&\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n1+\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\\ &=&\frac{n}{16}+\frac{1}{16}\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)} \end{eqnarray*}$$

พิจารณา $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$$

จะได้ว่าเป็นอนุกรมเทเลสโคป ดังนั้น

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}}$

$$\begin{eqnarray*} &=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{\frac12}{(2n-1)}-\frac{\frac12}{(2n+1)}\right]\\ &=&\frac12\sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)}\right]\\ &=&\frac12\left[\left(\frac11-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\ &=&\frac12\left[\left(\frac11-\cancel{\frac13}\right)+\left(\cancel{\frac13}-\bcancel{\frac15}\right)+\left(\bcancel{\frac15}-\cancel{\frac17}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{(2n-1)}}-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\ &=&\frac12\left[1-\frac{1}{(2n+1)}\right] \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n&=&\frac{n}{16}+\frac{1}{16}\left[\frac12\left(1-\frac{1}{(2n+1)}\right)\right]\\ &=&\frac{n}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32(2n+1)} \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{n}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32(2n+1)}}{n}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{16}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{32n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{32n(2n+1)}\\ &=&\frac{1}{16}+0+0\\ &=&\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า ห.ร.ม. ของ $1$ กับ $16$ เท่ากับ $1$ อยู่แล้ว ดังนั้น $a=1$ และ $b=16$

,

$$\begin{eqnarray*} a^2+b^2&=&1^1+16^2\\ &=&1+256\\ &=&257 \end{eqnarray*}$$