กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ประพจน์ $\forall{x}\left[\left|x^2-5x+4\right|<x^2+6x+5\right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

(ข) ประพจน์ $\forall{x}\left[\left|x^2-1\right|\geq2x-2\right]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งกรณีเพื่อปลดค่าสัมบูรณ์ในประพจน์ (ก)[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\left|x^{2}-5x+4\right| & < & x^{2}+6x+5\\
\left|\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right| & < & x^{2}+6x+5
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราต้องแบ่งกรณีที่จุด $x=1$ และ $x=4$ ดังนี้

ในกรณีที่ $x<1$ จะได้ว่า $\left|x-1\right| = -(x-1)$  และ $\left|x-4\right| = -(x-4)$  ดังนั้นอสมการนี้จะกลายเป็น

\begin{eqnarray*}
\left|\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right| & < & x^{2}+6x+5\\
\left[-\left(x-1\right)\right]\left[-\left(x-4\right)\right] & < & x^{2}+6x+5\\
\left(x-1\right)\left(x-4\right) & < & x^{2}+6x+5\\
x^{2}-5x+4 & < & x^{2}+6x+5\\
\cancel{x^{2}}-5x+4 & < & \cancel{x^{2}}+6x+5\\
4-5 & < & 6x+5x\\
-1 & < & 11x\\
x & > & -\frac{1}{11}
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อนำมาอินเตอร์เซกกับเงื่อนไขของกรณีนี้จะพบว่าช่วงคำตอบในกรณีนี้ คือ $\left(-\frac{1}{11},1\right)$
ซึ่งเท่ากับว่าแม้แต่ในกรณีนี้ก็ได้คำตอบไม่ครบทั้งเซต $\left(-\infty,1\right)$ แล้ว นั่นคือ ข้อความ $\forall{x}\left[\left|x^2-5x+4\right|<x^2+6x+5\right]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ แต่ (ก) บอกว่าประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง

ดังนั้น ข้อ (ก) กล่าวผิด

[STEP]แก้อสมการในข้อ (ข)[/STEP]

เนื่องจากอสมการ $\left|x^2-1\right| \geq 2x-2$ มีด้านที่น้อยกว่าของอสมการที่อาจติดลบได้ เราจึงเริ่มต้นแบ่งเป็น $2$ กรณีตามฝั่งที่น้อยกว่าก่อน นั่นคือ $2x-2 = 2(x-1)$ ซึ่งมีจุดแบ่งอสมการอยู่ที่ $x=1$ จึงแบ่งเป็นสองกรณี

ในกรณีที่ $x<1$ เราจะได้ว่าค่าของ $2x-2<0$ เสมอ ซึ่งจะทำให้อสมการเป็นจริงเสมอ (เนื่องจากอีกข้างของอสมการ คือ $\left|x^2-1\right|\geq0$)

ดังนั้นเราจำเป็นต้องแก้อสมการนี้เฉพาะกรณีที่ $x\geq1$ เท่านั้น และหากแยกตัวประกอบของพหุนามที่ติดค่าสัมบูรณ์ดู $\left| x^2 - 1 \right| = \left| (x+1)(x-1) \right|$ จะพบว่าจุดแบ่งกรณีของค่าสัมบูรณ์มีอยู่ $2$ จุด คือ $x=-1$ และ $x=1$ ดังรูป

ดังนั้นเราจึงแก้อสมการ $\left|x^2-1\right|\geq2x-2$ เฉพาะกรณีที่ $x\geq1$

กรณี $x\geq1$ จะได้ว่า $\left|x-1\right| = x-1$ และ $\left|x+1\right| = x+1$ แทนค่าลงในอสมการนี้จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|x^{2}-1\right| & \geq & 2x-2\\
\left|\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right| & \geq & 2\left(x-1\right)\\
\left|x-1\right|\left|x+1\right| & \geq & 2\left(x-1\right)\\
\left(x-1\right)\left(x+1\right) & \geq & 2\left(x-1\right)
\end{eqnarray*}

กระจายพหุนามทั้งสองข้างของอสมการ แล้วย้ายมาด้านซ้ายเพื่อแยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)\left(x+1\right) & \geq & 2\left(x-1\right)\\
x^{2}-1 & \geq & 2x-2\\
x^{2}-1-2x+2 & \geq & 0\\
x^{2}-2x+1 & \geq & 0\\
\left(x-1\right)^{2} & \geq & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นอสมการที่เป็นจริงเสมอ กรณีนี้เราจึงตอบได้เต็มช่วงคำตอบของกรณีเลย นั่นคือ $\left[1,\infty\right)$

เมื่อรวมกับกรณี $x<1$ ซึ่งเป็นจริงเสมออยู่แล้ว จะได้ว่าเซตคำตอบของอสมการนี้ คือ $\left(-\infty,\infty\right)$ หรือจำนวนจริงทุกจำนวนนั่นเอง

ดังนั้นประพจน์  $\forall{x}\left[\left|x^2-1\right|\geq2x-2\right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง แต่ข้อความ (ข) กล่าวว่าข้อความนี้เป็นเท็จ

เราจึงสรุปว่า ข้อ (ข) กล่าวผิด

[ANS] D (ก) ผิด และ (ข) ผิด[/ANS]

ข้อ (ก) 

เราสามารถใช้วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้างได้เนื่องจากฝั่งที่น้อยกว่าในอสมการติดค่าสัมบูรณ์จึงมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

\begin{eqnarray*}
\left|x^{2}-5x+4\right| & < & x^{2}+6x+5\\
\left|x^{2}-5x+4\right|^{2} & < & \left(x^{2}+6x+5\right)^{2}\\
\left(x^{2}-5x+4\right)^{2}-\left(x^{2}+6x+5\right)^{2} & < & 0\\
\left[\left(x^{2}-5x+4\right)+\left(x^{2}+6x+5\right)\right]\left[\left(x^{2}-5x+4\right)-\left(x^{2}+6x+5\right)\right] & < & 0\\
\left[2x^{2}+x+9\right]\left[-11x-1\right] & < & 0
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจาก $2x^2+x+9=0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง และมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ เราจึงเหลืออสมการเพียงแค่

\begin{eqnarray*}
-11x-1 & < & 0\\
-11x & < & 1\\
x & > & -\frac{1}{11}
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้เซตคำตอบเป็น $(-\frac{1}{11},\infty)$ และทำให้ประพจน์ในข้อ (ก) มีค่าความจริงเป็นเท็จเช่นเดียวกันกับวิธีข้างบน

ข้อ (ข)

ในขั้นตอนการแก้อสมการจากข้อ (ข) ตรง $\left(x-1\right)\left(x+1\right)  \geq  2\left(x-1\right)$ เราสามารถหารด้วย $x-1$ ทั้งสองข้างของอสมการได้ เพราะเราทราบแน่ชัดแล้วว่า $x-1\geq0$  โดยที่เราจะต้องแยกกรณีที่ $x-1=0$ ออกคิดไปต่างหากดังนี้

กรณี $x-1=0$ แทนค่า $x=1$ ลงในอสมการ $\left(x-1\right)\left(x+1\right)  \geq  2\left(x-1\right)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)\left(x+1\right) & \geq & 2\left(x-1\right)\\
\left(1-1\right)\left(1+1\right) & \geq & 2\left(1-1\right)\\
0 & \geq & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น $1$ เป็นคำตอบหนึ่งของอสมการนี้

กรณี $x-1>1$ หารด้วย $x-1$ ทั้งสองข้างของอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)\left(x+1\right) & > & 2\left(x-1\right)\\
\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1} & > & \frac{2\left(x-1\right)}{x-1}\\
\frac{\left(\cancel{x-1}\right)\left(x+1\right)}{\cancel{x-1}} & > & \frac{2\left(\bcancel{x-1}\right)}{\bcancel{x-1}}\\
x+1 & > & 2\\
x & > & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้คำตอบเต็มเงื่อนไขของกรณีเลย คือ $x>1$

นั่นหมายความว่าเมื่อรวมสองกรณีเข้าด้วยกัน ก็ได้คำตอบเป็น $x\geq1$ เช่นเดียวกับการแก้อสมการตามปรกติ

 

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี