กำหนดให้ $b>1$ และ

$$\int_1^b\frac{x-1}{x+\sqrt{x}}dx=4$$

ค่าของ $1+b+b^2$ เท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณค่า $b$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้ $b>1$ และ

$$\int_1^b\frac{x-1}{x+\sqrt{x}}dx=4$$

ดังนั้นเราจะเริ่มจากการอินทิเกรตด้านซ้ายมือ เมื่อจัดรูปจนเหลือแต่ตัวแปร $b$ แล้วจึงนำไปเท่ากับ $4$

จัดรูปสิ่งที่จะอินทิเกรตโดยแยกตัวประกอบพจน์ด้านบนเป็นสองวงเล็บ และดึง $\sqrt{x}$ ที่ตัวส่วนออกแล้วตัดพจน์ $\sqrt{x}+1$ ที่เหมือนกันทิ้งไป

\begin{eqnarray*}
\int_1^b\frac{x-1}{x+\sqrt{x}}dx&=&\int_1^b\frac{\sqrt{x}^2-1^2}{x+\sqrt{x}}dx\\
&=&\int_1^b\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}dx\\
&=&\int_1^b\frac{(\sqrt{x}-1)\cancel{(\sqrt{x}+1)}}{\sqrt{x}\cancel{(\sqrt{x}+1)}}dx\\
&=&\int_1^b\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}dx\\
\end{eqnarray*}

เปลี่ยน $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง แล้วอินทิเกรตแทนค่าของเขตจะได้ผลลัพธ์ในเทอมของตัวแปร $b$ ตามที่เราต้องการ

\begin{eqnarray*}
\int_1^b\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}dx &=&\int_1^b1-\frac{1}{\sqrt{x}}dx\\
&=&\int_1^b1-x^{\frac{-1}{2}}dx\\
&=&\left[x-2x^{\frac12}\right]_{x=1}^{x=b}\\
&=&b-2\sqrt{b}-(1-2)\\
&=&b-2\sqrt{b}+1
\end{eqnarray*}

จับผลลัพธ์ที่ได้มาเท่ากับ $4$ ตามสมการ $\int_1^b\frac{x-1}{x+\sqrt{x}}dx=4$ ที่โจทย์กำหนดมาให้เพื่อหาค่า $b$

\begin{eqnarray*}
b-2\sqrt{b}+1&=&4\\
b-2\sqrt{b}-3&=&0\\
(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+1)&=&0\\
\sqrt{b}&=&3,-1
\end{eqnarray*}

แต่ $\sqrt{b}$ ติดลบไม่ได้ และ $b>1$ ดังนั้น

$$\sqrt{b}=3$$

จะได้ว่า

$$b=9$$

[STEP]คำนวณค่าที่โจทย์ต้องการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
1+b+b^2&=&1+9+9^2\\
&=&1+9+81\\
&=&91
\end{eqnarray*}

[ANS]$1+b+b^2=91$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต