,

เราต้องการสร้างเลข $5$ หลักโดยที่ใช้ตัวเลขได้เพียง $3$ ตัวเท่านั้น มากหรือน้อยกว่านี้ไม่ได้ เราจึงสมมุติให้ตัวเลขทั้งสามตัวนั้น คือ $A,B$ และ $C$ จากนั้นเราจะมาดูรูปแบบของจำนวนการซ้ำกันที่เป็นไปได้ โดยเริ่มต้นจากกรณีที่มีตัวเลขตัวหนึ่งซ้ำกันมากที่สุดที่เป็นไปได้ก่อน นั่นคือ 

$$AAABC$$

จากนั้นลดจำนวน $A$ ที่ซ้ำกันลง จะเหลือ

$$AABBC$$

หากเราลดจำนวนของ $A$ ลงอีก จะพบว่าเกิดสองกรณีซึ่งซ้ำกันกับของเก่า คือ

1. $\cancel{ABBBC}$ ไปซ้ำกับ $AAABC$ ในกรณีที่ตัวเลขที่เลือกมาได้ของ $A$ กับ $B$ สลับกัน
2. $\cancel{ABBCC}$ ซ้ำกับ $AABBC$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่ามีรูปแบบของจำนวนตัวเลขเพียงแค่ $2$ รูปแบบเท่านั้น คือ

• $AAABC$
• $AABBC$

,

ในการสร้างจำนวน $5$ หลักจากเลขโดด $1$ ถึง $9$ ในรูปแบบ $AAABC$ นั้น เรามีขั้นตอนอยู่ $3$ ขั้น คือ

1. เลือกตัวเลขที่จะใช้ซ้ำ $AAA$
   ในการเลือกตัวเลขที่จะใช้ซ้ำ $AAA$ เราเลือกตัวเลข $1$ ตัวจากเลขโดด $9$ ตัว มีจำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{9}{1}$
2. เลือกตัวเลขสำหรับ $B$, $C$ มาพร้อมๆ กัน $2$ ตัว
   (สาเหตุที่เราไม่เลือกมาทีละตัว เพราะเราจะเอาไปเรียงสลับกันในขั้นตอนถัดไปอีกที)
   เนื่องจากเราได้เลือกตัวเลขไปในขั้นตอนที่แล้วไปแล้ว $1$ ตัว ณ ตอนนี้จึงมีเลขโดดให้เลือกอีก $8$ ตัว ซึ่งเราจะเลือกออกมา $2$ ตัวพร้อมกัน มีจำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{8}{2}$ วิธี
3. เรียงจำนวนในรูปแบบ $AAABC$
   ใช้การเรียงของซ้ำกัน มีจำนวนวิธีเท่ากับ $\dfrac{5!}{3!}$

คูณจำนวนวิธีจากทั้งสามขั้นตอนเข้าด้วยกันจะได้

$$\binom{9}{1}\times\binom{8}{2}\times \frac{5!}{3!}$$

,

เช่นเดียวกับขั้นตอนที่แล้ว เราจะต้องแบ่งเป็นขั้นตอนดังนี้

1. เลือกตัวเลขที่จะใช้ซ้ำ $AA$ กับ $BB$ มาพร้อมกัน
   (สาเหตุที่เลือกมาพร้อมกันเพราะเราจะเอาไปเรียงเพื่อสลับกันในขั้นตอนสุดท้ายอีกที)
   เลขโดด $9$ ตัวเลือกออกมาพร้อมกัน $2$ ตัว ($A$ กับ $B$) ได้ $\binom{9}{2}$ วิธี
2. เลือกตัวเลขโดด $C$ อีก $1$ ตัว
   เนื่องจากขั้นตอนที่แล้วใช้เลขโดดไปแล้ว $2$ ตัว จึงเหลือเลขโดดให้เลือกเพียง $7$ ตัว เลือกออกมาเป็น $C$ หนึ่งตัว ได้ $\binom{7}{1}$ วิธี
3. เรียงจำนวนในรูปแบบ $AABBC$
   ใช้การเรียงแบบมีของซ้ำกัน มีจำนวนวิธีเท่ากับ $\frac{5!}{2!2!}$

คูณจำนวนวิธีจากทั้งสามขั้นตอนเข้าด้วยกัน

$$\binom{9}{2}\times\binom{7}{1}\times \frac{5!}{2!2!}$$

,

ในการนับจำนวน $5$ หลักที่สร้างจากเลขโดด $1$ ถึง $9$ โดยที่สามารถใช้เลขซ้ำได้นั้น เราใช้วิธีวางตำแหน่งไว้ $5$ ตำแหน่งของตัวเลขแต่ละหลักไว้ดังแผนภาพ

$$\_\quad\_\quad\_\quad\_\quad\_$$

จากนั้นคิดว่าแต่ละตำแหน่งสามารถใช้เลขอะไรได้บ้าง ซึ่งพบว่าทุกตำแหน่งสามารถใช้เลข $1$ ถึง $9$ ได้ครบทุกตัว แต่ละตำแหน่งจึงเลือกได้ $9$ แบบเท่าๆ กัน ดังนั้นจำนวน $5$ หลักทั้งหมดที่เป็นไปได้มีค่าเท่ากับ 

$$9\times 9\times 9\times 9 \times 9 = 9^5$$

คำนวณความน่าจะเป็นของจำนวน $5$ หลักที่ใช้ตัวเลขเพียง $3$ หลัก

$$\begin{eqnarray*} P\left(E\right) & = & \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}\\  & = & \frac{\binom{9}{1}\times\binom{8}{2}\times\frac{5!}{3!}+\binom{9}{2}\times\binom{7}{1}\times\frac{5!}{2!2!}}{9^{5}}\\  & = & \frac{\left(9\right)\left(\frac{8\times7}{2}\right)\times\left(5\times4\right)+\left(\frac{9\times8}{2}\right)\left(7\right)\left(\frac{5\times4\times3}{2}\right)}{9^{5}} \end{eqnarray*}$$

ดึงตัวร่วมจากด้านบนออกแล้วพยายามตัดกับ $9$ ด้านล่างให้มากที่สุดก่อนคำนวณ และเมื่อตัดหมดแล้ว พยายามจับคู่ $2$ กับ $5$ เพื่อเปลี่ยนเป็น $10$ ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้น

$$\begin{eqnarray*} P\left(E\right) & = & \frac{\left(9\times8\times7\times5\times4\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)}{9^{5}}\\  & = & \frac{\left(9\times8\times7\times5\times4\right)\left(\frac{5}{4}\right)}{9^{5}}\\  & = & \frac{8\times7\times5\times5}{9^{4}}\\  & = & \frac{2\times7\times4\times5\times5}{9^{4}}\\  & = & \frac{\left(2\times7\right)\times100}{\left(81\right)^{2}}\\  & = & \frac{1400}{6561} \end{eqnarray*}$$