ให้ $A$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $ x - 3y + 1 = 0 $  และ $ 2x + 5y - 9 = 0 $  ถ้าเส้นตรง $L$ มีความชันเท่ากับ $m$ เมื่อ $ m<0 $  มีระยะทางจากจุดกำเนิด $(0,0)$  เท่ากับ $k$ หน่วย  โดยที่ $k^2 + 2m = 1 $ และผ่านจุด $A$ แล้วสมการของเส้นตรง $L$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

ข้อนี้สามารถตรวจสอบสมการเส้นตรงในตัวเลือกได้เลยว่า ข้อใดสอดคล้องกับสมการ $k^2+2m=1$

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก A[/STEP]

จากสมการเส้นตรงในตัวเลือก A จัดรูปคำนวณความชัน

\begin{eqnarray*}
2x+y-5 &=& 0 \\
y &=& -2x+5\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ความชันเป็นสัมประสิทธิ์ของ $x$ นั่นคือ $-2$ นั่นเอง  ดังนั้นตัวเลือกนี้มี $m=-2$

จากนั้นคำนวณระยะจากจุดกำเนิด $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $2x+y-5=0$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
k &=& \frac{\left| 2(0)+(0)-5\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\
k&=& \frac{5}{\sqrt{5}}\\
k&=& \sqrt{5}\\
\end{eqnarray*}

จากนั้นแทนค่า $m=-2$ และ $k=\sqrt{5}$ ลงในสมการ $k^2+2m=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
k^2+2m &=& 1\\
\left( \sqrt{5} \right)^2 +2(-2) &=& 1\\
5-4 &=& 1\\
1 &=& 1\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง ตัวเลือกนี้จึงมีโอกาสถูก แต่เรายังสรุปไม่ได้จนกว่าจะตรวจสอบจนครบทุกตัวเลือกแล้ว

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก B[/STEP]

หาความชันของเส้นตรง $3x+y-7=0$

\begin{eqnarray*}
3x+y-7 &=& 0\\
y &=& -3x+7 \\
\end{eqnarray*}

จะได้ $m=-3$

คำนวณระยะทางจาก $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $3x+y-7=0$

\begin{eqnarray*}
k &=& \frac{\left| 3(0) +(0) -7 \right|}{\sqrt{3^2 + 1^2 }}\\
k &=& \frac{7}{\sqrt{10}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $m=-3$ และ  $k = \frac{7}{\sqrt{10}}$ ลงในสมการ $k^2+2m=1$

\begin{eqnarray*}
k^2 + 2m &=& 1\\
\left( \frac{7}{\sqrt{10}} \right)^2 + 2(-3) &=&1 \\
\frac{49}{10} -6 &=&1\\
\frac{49}{10} - \frac{60}{10} &=& 1\\
-\frac{11}{10} &=& 1\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง เราจึงตัดตัวเลือก B ทิ้งได้เลย

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก C[/STEP]

จากสมการ $x+2y-4=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+2y-4 &=& 0\\
2y &=& -x+4\\
y &=& \frac{-x+4}{2}\\
y &=& -\frac12x+2\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ความชัน $m=-\frac12$

คำนวณระยะระหว่างจุด $(0,0)$ ไปยังเส้นตรง $x+2y-4=0$

\begin{eqnarray*}
k &=& \frac{\left| (0) + 2(0) -4 \right|}{\sqrt{1^2+2^2}}\\
k &=& \frac{4}{\sqrt{5}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $m=-\frac12$ และ $k=\frac{4}{\sqrt{5}}$ ลงในสมการ $k^2+2m=1$

\begin{eqnarray*}
k^2+2m &=& 1\\
\left( \frac{4}{\sqrt{5}} \right)^2 +2 \left( -\frac12 \right) &=& 1\\
\frac{16}{5}  - 1 &=& 1 \\
\frac{16}{5} - \frac{5}{5} &=& 1\\
\frac{11}{5} &=& 1\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง เราจึงสามารถตัดตัวเลือก C ออกได้

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก D[/STEP]

จากสมการ $x+3y-5=0$ จัดรูปเพื่อหาความชัน

\begin{eqnarray*}
x+3y-5 &=& 0\\
3y &=& -x+5\\
y &=& \frac{-x+5}{3}\\
y &=& -\frac13x + \frac53\\
\end{eqnarray*}

จะได้ความชัน $m=-\frac13$

คำนวณระยะทางระหว่างจุด $(0,0)$ ไปยังสมการ $x+3y-5=0$

\begin{eqnarray*}
k &=& \frac{\left| (0) + 3(0) - 5 \right|}{\sqrt{1^2+3^2}}\\
k &=& \frac{5}{\sqrt{10}}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $m=-\frac13$ และ $k=\frac{5}{\sqrt{10}}$ ลงในสมการ $k^2+2m=1$

\begin{eqnarray*}
k^2 +2m &=& 1\\
\left( \frac{5}{\sqrt{10}} \right)^2 +2 \left( -\frac13 \right) &=& 1\\
\frac{25}{10} -\frac{2}{3} &=& 1\\
\frac{75}{30} - \frac{20}{30} &=& 1\\
\frac{55}{30} &=& 1\\
\frac{11}{6} &=& 1\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้นเราจึงสามารถตัดตัวเลือก D ออกได้เช่นกัน และจากการที่เราตัดตัวเลือก B และ C ออกไปแล้ว ทำให้เราสามารถตอบตัวเลือก A ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงสมการเดียวที่มีค่า $m$ และ $k$ สอดคล้องกับสมการ $k^2 + 2m = 1$ ได้

[ANS]$ 2x + y - 5 = 0 $[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการเส้นตรง