สำหรับเซต $S$ ใดๆ ให้ $n(S)$ แทนจำนวนสมาชิกของเซต $S$

กำหนดให้ $A, B$ และ $C$ เป็นสับเซตในเอกภพสัมพัทธ์ที่มีสมบัติดังนี้

$n(A)=2n(B)=3n(C)$, $n(A\cup{B}\cup{C})=15$ และ $n(A\cap{B}\cap{C})=2$

ถ้า $n(A-B)=8$, $n(B-C) = 4$, $n(A-C) = 9$ แล้ว $n((A\cup{B})-C)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $n(A\cap{B}),n(B\cap{C})$ และ $n(A\cap{C})$ ในรูปของ $n(A)$[/STEP]

จาก $n(A)=2n(B)=3n(C)$ กำหนดให้ $n(A)=x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(A) &=& 2n(B)\\
x &=& 2n(B)\\
\frac{x}{2} &=& n(B)
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
n(A) &=& 3n(C) \\
x &=& 3n(C) \\
\frac{x}{3} &=& n(C)
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า จากการสมมุติให้ $n(A) = x$ จะได้ $n(B) = \frac{x}{2}$ และ $n(C) = \frac{x}{3}$

จาก $n(A-B)=8$ สามารถวาดแผนภาพเวนน์แสดงส่วนที่มีจำนวนสมาชิกเป็น $8$ เป็นสีฟ้าได้ดังรูป

จากความสัมพันธ์ $n(A) = n(A-B) + n(A\cap{B})$ แทนค่า $n(A) = x$  และ $n(A-B) = 8$ ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
n(A) &=& n(A-B) + n(A\cap{B}) \\
x &=& 8 + n(A\cap{B}) \\
x-8 &=& n(A\cap{B})
\end{eqnarray*}

จึงได้ว่า $n(A\cap{B}) = x-8$

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ $n(B-C)=4$ วาดแผนภาพเวนน์แสดงส่วนที่มีสมาชิก $4$ ตัวเป็นสีชมพูได้ดังรูป

จากความสัมพันธ์ $n(B) = n(B-C) + n(B\cap{C})$ แทนค่า $n(B) = \frac{x}{2}$ และ  $n(B-C) = 4$  ลงไปจะได้

\begin{eqnarray*}
n(B) &=& n(B-C) + n(B\cap{C}) \\
\frac{x}{2} &=& 4 + n(B\cap{C})\\
\frac{x}{2} - 4 &=& n(B\cap{C})
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $n(B\cap{C})=\frac{x}{2}-4$

ในทำนองเดียวกัน จากที่โจทย์กำหนดให้ $n(A-C)=9$ วาดแผนภาพเวนน์แสดงส่วนนี้ได้ดังรูป

แทนค่า $n(A) = x$ และ $n(A-C) = 9$ ลงในสมการความสัมพันธ์ $n(A) = n(A-C) + n(A\cap{C})$ 

\begin{eqnarray*}
n(A) &=& n(A-C) + n(A\cap{C})\\
x &=& 9 + n(A\cap{C})\\
x-9 &=& n(A\cap{C})
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $n(A\cap{C})=x-9$

[STEP]คำนวณค่า $x$ หรือ $n(A)$ จากสูตรยูเนียนสามเซต[/STEP]

แทนค่า $n(A\cup{B}\cup{C})=15$ จากที่โจทย์กำหนดให้,
$n(A\cap{B}) = x-8,n(B\cap{C})=\frac{x}{2}-4, n(A\cap{C}) = x-9$ จากที่คำนวณได้ในขั้นตอนที่แล้ว,
และ $n(A\cap{B}\cap{C}) = 2$  จากที่โจทย์กำหนดให้ลงในสูตรยูเนียนสามเซต จะได้

\begin{eqnarray*}
n(A\cup{B}\cup{C})&=& n(A) + n(B) + n(C) - n(A\cap{B}) - n(B\cap{C}) - n(A\cap{C}) + n(A\cap{B}\cap{C})\\
(15)  &=& (x)+\left(\frac{x}{2}\right) +\left( \frac{x}{3}\right) -(x-8)-\left(\frac{x}{2}-4\right)-(x-9)+(2)\\
15&=&-\frac{2x}{3}+23\\
\frac{2x}{3}&=&8\\
x&=&12
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงทราบว่า $n(A) = x = 12$

[STEP]คำนวณ $n((A\cup{B})-C)$[/STEP]

วาดแผนภาพเวนน์ของชิ้นส่วนที่โจทย์ถาม $(A\cup{B})-C$ 

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ถามสามารถคำนวณได้จาก $n((A\cup{B})-C) = n(A\cup{B}\cup{C}) - n(C)$ แทนค่า $n(A\cup{B}\cup{C}) = 15$ และ $n(C) = \frac{x}{3}$ และ $x=12$ ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
n((A\cup{B})-C)&=&n(A\cup{B}\cup{C})-n(C)\\
&=&15-\frac{x}{3}\\
&=& 15 - \frac{12}{3}\\
&=& 11
\end{eqnarray*}

[ANS]$n((A\cup{B})-C)=11$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่ไม่ใช้สูตรยูเนียน