ถ้า $x = 1 + \sqrt{3}$ แล้ว $\displaystyle \frac{x^{\frac12} - \sqrt{3} x^{-\frac12}}{x}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสิ่งที่ต้องการหา[/STEP]

เราเปลี่ยน $\displaystyle x^{\frac12}$ เป็น $\sqrt{x}$ และ $\displaystyle x^{-\frac12}$ เป็น $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}$

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{\frac12} - \sqrt{3} x^{-\frac12}}{x} &=& \frac{\sqrt{x} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}}{x}\\
&=& \frac{\frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x}}}{x}\\
&=& \frac{x - \sqrt{3}}{x \sqrt{x}}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $\displaystyle x \sqrt{x} = x \cdot x^{\frac12} = x^{\frac32}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{\frac12} - \sqrt{3} x^{-\frac12}}{x} &=& \frac{x - \sqrt{3}}{x^{\frac32}}
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $x$[/STEP]

แทนค่า $x =1 + \sqrt{3}$

\begin{eqnarray*}
\frac{x - \sqrt{3}}{x^{\frac32}} &=& \frac{1 + \cancel{\sqrt{3}} - \cancel{\sqrt{3}}}{(1+\sqrt{3})^{\frac32}}\\
&=& \frac{1}{(1+\sqrt{3})^{\frac32}}\\
&=& (1 + \sqrt{3})^{-\frac32}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle (1 + \sqrt{3})^{-\frac32}$[/ANS]

จัดรูปให้เรียบร้อยก่อนแทนค่าจะสะดวกกว่ามากเลยครับ