กำหนดให้ $y$ เป็นรายได้ต่อเดือนของพนักงาน (หน่วย : หมื่นบาท)

และ $x$ เป็นจำนวนปีที่พนักงานใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษา

โดย $x$ และ $y$ สัมพันธ์กันดังนี้

$$y_i = 2 x_i + 1 \;\;\;\; i = 1, 2, ...$$

ถ้าพนักงานสี่คน ซึ่งมีรายได้ต่อเดือนเป็น

$5, 7, 9, a \;\;\;$ (หมื่นบาท)

และค่าเฉลี่ยเลขคณิต $(\overline{x})$ ของจำนวนปีที่พนักงานใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษาเท่ากับ $4$ แล้ว ความแปรปรวนของรายได้ต่อเดือนเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของพนักงาน[/STEP]

จากข้อมูลรายได้ของพนักงาน $4$ คน คือ $5, 7, 9, a$

จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
\overline{y} &=& \frac{5+7+9+a}{4}\\
&=& \frac{21+a}{4}
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่าในความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ และ $y$[/STEP]

จาก $$y_i = 2 x_i + 1$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\overline{y} &=& 2 \overline{x} + 1\\
\frac{21+a}{4} &=& 2 (4) + 1\\
21 + a &=& 36\\
a &=& 15
\end{eqnarray*}

[STEP]หาความแปรปรวนของรายได้[/STEP]

เราทราบรายได้ของพนักงานทั้ง $4$ คน คือ $5, 7, 9, 15$ (หมื่นบาท)

จากสูตรความแปรปรวน ในข้อนี้ต้องใช้สูตรกลุ่มตัวอย่าง (เพราะโจทย์ใช้สัญลักษณ์ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น $\overline{x}$)

\begin{eqnarray*}
S^2 &=& \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2}{N-1}
\end{eqnarray*}

และเราทราบว่า $$\overline{y} = 2 \overline{x} + 1 = 2(4)+1 = 9$$

จะได้ความแปรปรวนของรายได้ $(y)$ คือ

\begin{eqnarray*}
S^2 &=& \frac{\sum_{i=1}^{4} (y_i - \overline{y})^2}{4-1}\\
&=& \frac{(5 - 9)^2 + (7-9)^2 + (9-9)^2 + (15-9)^2}{3}\\
&=& \frac{16 + 4 + 0 + 36}{3}\\
&=& 18.67
\end{eqnarray*}

[ANS]$18.67 \; (\text{หมื่นบาท})^2$[/ANS]

สิ่งที่ต้องระวังอย่างมากคือโจทย์อาจไม่ได้บอกตรงๆ ว่าข้อไหนเป็นกลุ่มตัวอย่าง และข้อไหนเป็นกลุ่มประชากร

วิธีสังเกตคือให้ดูจากสัญลักษณ์ที่โจทย์ใช้

  • ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตโจทย์ใช้สัญลักษณ์ $\overline{x}$ จะหมายกลุ่มตัวอย่าง สูตรความแปรปรวนจะเป็น $\displaystyle S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2}{N-1}$
  • ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตโจทย์ใช้สัญลักษณ์ $\mu$ จะหมายกลุ่มประชากร สูตรความแปรปรวนจะเป็น $\displaystyle {\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$