จำนวนจริง $\sqrt{84 + 18 \sqrt{3}}$ มีค่าเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]กำหนดตัวแปรเพื่อหาคำตอบ[/STEP]

พิจารณาจากคำตอบทั้ง $5$ ตัวเลือก จะเห็นว่าทุกตัวเลือกมี $2$ ส่วน คือส่วนที่เป็นจำนวนเต็มบวก และส่วนที่ติดสแควร์รูท

เราสมมุติให้ $$x+y = \sqrt{84+18\sqrt{3}}$$

โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (ติดสแควร์รูท)

[STEP]ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อให้สแควร์รูทใหญ่หายไป[/STEP]

จาก $$x+y = \sqrt{84+18\sqrt{3}}$$

เรายกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+y)^2 &=& \left( \sqrt{84+18\sqrt{3}} \right)^2\\
x^2 + 2xy + y^2 &=& 84 + 18 \sqrt{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปเพื่อเทียบส่วนจำนวนเต็ม และส่วนติดสแควร์รูท[/STEP]

เราจัดรูป โดยนำ $x^2$ และ $y^2$ มาไว้เป็นกลุ่มเดียวกัน ดังนี้

\begin{eqnarray*}
(x^2 + y^2) + 2xy &=& 84 + 18 \sqrt{3}
\end{eqnarray*}

เหตุผลที่จัดแบบนี้เพราะว่าเรากำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า $x^2$ ก็เป็นจำนวนเต็ม

และเรากำหนดให้ $y$ เป็นจำนวนที่ติดสแควร์รูท แสดงว่า $y^2$ นั้นมีค่าเป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งเมื่อนำมาบวกกัน จะได้ว่า $x^2 + y^2$ ก็เป็นจำนวนเต็ม

แต่ส่วน $2xy$ นั้น ยังคงติดสแควร์รูทอยู่

ซึ่งเรานำมาเปรียบเทียบค่ากับฝั่งขวามือ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 &=& 84 &----& (1)\\
2xy &=& 18 \sqrt{3} &----& (2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จากสมการ $(2)$ เราจัดรูป

\begin{eqnarray*}
2xy &=& 18 \sqrt{3}\\
y &=& \frac{\cancelto{9}{18} \sqrt{3}}{\cancel{2}x}\\
y &=& \frac{9 \sqrt{3}}{x}
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 &=& 84\\
x^2 + \left( \frac{9 \sqrt{3}}{x} \right)^2 &=& 84\\
x^2 + \frac{81(3)}{x^2} &=& 84
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $x^2$ เพื่อกำจัดตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
x^4 + 81(3) &=& 84x^2\\
x^4 - 84x^2 + 81(3) &=& 0\\
(x^2 - 81)(x^2 - 3) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

$x^2 = 81$ หรือ $x^2 = 3$

แต่เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 81\\
x &=& 9
\end{eqnarray*}

แทนค่าหา $y$ จะได้

\begin{eqnarray*}
y &=& \frac{9\sqrt{3}}{x} \\
&=& \frac{9\sqrt{3}}{9}\\
&=& \sqrt{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$x+y = 9 + \sqrt{3}$$

[ANS]$9 + \sqrt{3}$[/ANS]

เทคนิคสำหรับการทำโจทย์ประเภทนี้คือเราต้องจัดให้อยู่ในรูป $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ แล้วจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\sqrt{a + 2\sqrt{b}} &=& \sqrt{x} + \sqrt{y}
\end{eqnarray*}

เมื่อ $x+y = a$ และ $xy = b$

เช่นในโจทย์ข้อนี้ เราจัดรูป

\begin{eqnarray*}
\sqrt{84 + 18 \sqrt{3}} &=& \sqrt{84 + (2)(9)\sqrt{3}}\\
&=& \sqrt{84 + 2 \sqrt{(9^2) (3)}}\\
&=& \sqrt{84 + 2 \sqrt{(81)(3)}}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $a$ ในที่นี้คือ $84$ และ $b$ คือ $(81)(3)$

เราจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x + y &=& 84\\
xy &=& (81)(3)
\end{eqnarray*}

นั่นก็คือ $x = 81$ และ $y = 3$ (สลับ $x$ และ $y$ ได้)

ดังนั้น $$\sqrt{84 + 18\sqrt{3}} = \sqrt{81} + \sqrt{3} = 9 + \sqrt{3}$$