บริษัทแห่งหนึ่งซื้อเครื่องจักรมาในราคา $A$ บาท คิดค่าเสื่อมราคาคงที่ $15\%$ ต่อปี กล่าวคือ ราคาเครื่องจักรจะลดลง $15\%$ ของมูลค่าคงเหลือในแต่ละปีทุกปี

ถ้าใช้เครื่องจักรผ่านไป $t$ ปี แล้ว มูลค่าคงเหลือของเครื่องจักรนี้เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณามูลค่าของเครื่องจักร[/STEP]

เครื่องจักรเสื่อมมูลค่าลงปีละ $15\%$ แสดงว่าเมื่อผ่านไป $1$ ปี มูลค่าเครื่องจักรจะเหลือ $85\%$

มูลค่าเครื่องจักรในปีแรกเท่ากับ $A$ บาท

นั่นคือ ในปีที่ $2$ มูลค่าเครื่องจักรเท่ากับ $$\displaystyle \frac{85}{100} A = 0.85 A$$

ในปีที่ $3$ มูลค่าเครื่องจักรเท่ากับ $$\displaystyle  (0.85)(0.85 A) = (0.85)^2 A$$

[STEP]หามูลค่าเครื่องจักรที่เหลือ[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้วจะสังเกตเห็นว่า เมื่อเวลาผ่านไป $1$ มูลค่าเครื่องจักรจะต้องคูณด้วย $0.85$ เข้าไป $1$ ครั้ง

ดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป $t$ ปี มูลค่าของเครื่องจักรจึงต้องคูณด้วย $0.85$ จำนวน $t$ ครั้ง

มูลค่าเครื่องจักรที่เหลือจึงเป็น

$\displaystyle (0.85)^t A$ บาท

[ANS]$\displaystyle (0.85)^{t} A$ บาท[/ANS]

โจทย์ที่เกี่ยวข้องกับการคิดเปอร์เซ็นมักเป็นลำดับเรขาคณิตเสมอ แต่สิ่งที่เราอาจสับสนได้ในข้อนี้คืออันดับของพจน์

มูลค่าของเครื่องจักรเมื่อนำมาเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต จะได้ $$A, (0.85)A, (0.85)^2 A, ...$$

ซึ่งเขียนเป็นพจน์ทั่วไปได้ว่า $$a_n = (0.85)^{n-1} A$$

แต่เมื่อเวลาผ่านไป $t$ ปี นั้นไม่ใช่พจน์ที่ $t$ แต่ต้องเป็นพจน์ที่ $t+1$ นะครับ

เช่น ผ่านไป $1$ ปี ได้พจน์ที่ $2$ ผ่านไป $2$ ปี ได้พจน์ที่ $3$ ดังนั้นเมื่อผ่านไป $t$ ปี จะต้องได้พจน์ที่ $t+1$ คือ

$$a_{t+1} = (0.85)^{t+1-1} A = (0.85)^t A$$

ไม่ใช่ $a_{t} = (0.85)^{t-1} A$ นะครับ