จากผลการวิเคราะห์ของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่า เมื่อผลิตสินค้า $x$ (หน่วย : ร้อยชิ้น) โรงงานจะได้กำไร $P(x)$ โดยที่

$P(x) = ax^2 + bx + c$    (หน่วย : พันบาท)

ถ้าไม่ผลิตเลย จะขาดทุน $5,000$ บาท ถ้าผลิต $100$ ชิ้น จะเท่าทุน และถ้าผลิต $200$ ชิ้น จะได้กำไร $3,000$ บาท

เพื่อให้ได้กำไรสูงสุด โรงงานต้องผลิตสิ้นค้ากี่ชิ้น

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อมูลที่โจทย์กำหนด[/STEP]

เนื่องจาก $x$ คือจำนวนสินค้า และ $P(x)$ คือกำไร

ไม่ผลิตเลย ขาดทุน $5,000$ บาท แสดงว่า $$P(0) = -5,000$$

ผลิต $100$ ชิ้น เท่าทุน แสดงว่า $$P(100) = 0$$

ผลิต $200$ ชิ้น กำไร $3,000$ บาท แสดงว่า $$P(200) = 3,000$$

สร้างเป็นสมการได้ดังนี้

จาก $P(0) = -5,000$

\begin{eqnarray*}
0 + 0 + c &=& -5,000\\
c &=& -5,000
\end{eqnarray*}

จาก $P(100) = 0$

\begin{eqnarray*}
(100^2)a + 100b + c &=& 0 &&\\
10,000a + 100b - 5,000 &=& 0 &&\\
10,000a + 100b &=& 5,000 &&\\
100a + b &=& 50 &----& (1)
\end{eqnarray*}

จาก $P(200) = 3,000$

\begin{eqnarray*}
(200^2)a + 200b + c &=& 3,000 &&\\
40,000a + 200b - 5,000 &=& 3,000 &&\\
40,000a + 200b &=& 8,000 &&\\
200a + b &=& 40 &----& (2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
(200a + b) - (100a + b) &=& 40 - 50\\
100a &=& -10\\
a &=& -\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
100 \left( -\frac{1}{10} \right) + b &=& 50\\
-10 + b &=& 50\\
b &=& 60
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจุดสูงสุด[/STEP]

เราได้ว่า $$\displaystyle P(x) = -\frac{1}{10} x^2 + 60x - 5,000$$ หรือ $$\displaystyle y = -\frac{1}{10} x^2 + 60x - 5,000$$

ซึ่งเป็นกราฟพาราโบลาคว่ำ (สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ ติดลบ) จะมีจุดยอดเป็นจุดสูงสุด

ค่า $x$ และ $y$ ที่จุดยอดจึงเป็นจำนวนสินค้าและกำไรที่สูงที่สุดของโรงงานแห่งนี้

หาจุดยอด

\begin{eqnarray*}
x &=& -\frac{b}{2a}\\
&=& - \frac{60}{2 \left( - \frac{1}{10} \right)}\\
&=& \frac{60}{\frac{1}{5}}\\
&=& 300
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า เราไม่จำเป็นต้องหาค่า $y$ เพราะโจทย์ถามจำนวนสินค้า ซึ่งเราได้ว่า $x = 300$

ดังนั้น โรงงานต้องผลิตสินค้า $300$ ชิ้น จึงจะได้กำไรสูงที่สุด

[ANS]$300$[/ANS]

ข้อนี้เนื้อหาไม่ยากนะครับ แต่ตัวเลขค่อนข้างเยอะเลยอาจทำให้เรารู้สึกยากได้