กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลม มีด้าน $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

ถ้า $B \hat{A} C = 60^o$ และด้าน $BC$ ยาว $10 \sqrt{3}$ หน่วย

แล้ว รัศมีของวงกลมยาวเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$[/STEP]

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ จะได้รูปดังนี้

จากทฤษฎีบทเรขาคณิต ม.ต้น ที่บอกว่า

"รูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมที่มีด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม มุมที่อยู่บนเส้นรอบวงจะเป็นมุมฉากเสมอ"

เราจึงได้ว่ามุม $A \hat{B} C$ เป็นมุมฉาก

[STEP]พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก[/STEP]

เมื่อเราทราบว่า รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความยาวด้าน $AC$

เราทราบความยาว $BC$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุม $60^o$ และต้องการหาความยาวด้าน $AC$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

เราจึงเลือกใช้ $\sin 60^o$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\sin 60^o &=& \frac{BC}{AC}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} &=& \frac{10 \sqrt{3}}{AC}\\
AC &=& 10 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\\
AC &=& 20
\end{eqnarray*}

$AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นรัศมียาว

\begin{eqnarray*}
r &=& \frac{AC}{2} &=& \frac{20}{2} &=& 10
\end{eqnarray*}

[ANS]$10$ หน่วย[/ANS]