ถ้า $f(x) = a \sqrt{x+b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก

กราฟของ $y = f(x)$ เป็นดังรูป

ข้อใดถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]หาข้อมูลจากกราฟ[/STEP]

สังเกตจากกราฟ จะเห็นว่ากราฟผ่านจุด $(-4, 0)$ และจุด $(0, 4)$

แสดงว่าเราสามารถแทนค่า $x = -4, y = 0$ และ $x = 0, y = 4$ ในสมการ $y = f(x)$ ได้

[STEP]แทนค่า $x = -4, y = 0$[/STEP]

จาก $y = a \sqrt{x+b}$

\begin{eqnarray*}
0 &=& a \sqrt{-4+b}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $a = 0$ หรือ $\sqrt{-4+b} = 0$

แต่ถ้า $a = 0$ แสดงว่าสมการของกราฟคือ $y = 0$ ซึ่งต้องเป็นเส้นตรงที่ทับแกน $X$ พอดี

ไม่ตรงกับกราฟที่โจทย์กำหนดมา ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sqrt{-4+b} &=& 0\\
-4 + b &=& 0\\
b &=& 4
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $x = 0, y = 4$[/STEP]

จาก $y = a \sqrt{x+b}$ เราทราบว่า $b = 4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
4 &=& a \sqrt{0 + 4}\\
4 &=& 2a\\
2 &=& a
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $$f(x) = 2 \sqrt{x + 4}$$

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก[/STEP]

จาก $a = 2$ และ $b = 4$ จะได้ว่า

$$a+b = 2 + 4 = 6$$

ดังนั้น ตัวเลือก $A$ ไม่ถูกต้อง

และ $$f(x) = 2 \sqrt{x + 4}$$

ดังนั้น ตัวเลือก $B$ ไม่ถูกต้อง

จาก $f(x) = 2 \sqrt{x + 4}$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f(-x) &=& 2 \sqrt{-x + 4}\\
&=& 2 \sqrt{4 - x}\\
&\neq& 3 \sqrt{4 - x}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก $C$ ไม่ถูกต้อง

จาก $f(x) = 2 \sqrt{x + 4}$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f(x^2) &=& 2 \sqrt{x^2 + 4}\\
&\neq& 2 (x+2)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก $D$ ไม่ถูกต้อง

จาก $f(x) = 2 \sqrt{x + 4}$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
[f(x)]^2 &=& \left( 2 \sqrt{x+4} \right)^2\\
&=& (2^2)(\sqrt{x+4})^2\\
&=& 4 (x+4)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก $E$ ถูกต้อง

$[f(x)]^2 = 4 (x+4)$