นำบัตรนักศึกษาของนักศึกษา $5$ คนที่ทำผิดกฎจราจรไว้ในกล่องเดียวกัน หลังจากเสียค่าปรับเสร็จแล้วให้นักศึกษาสุ่มหยิบบัตรคืนคนละหนึ่งใบ จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษาจะหยิบบัตรตรงกับบัตรของตัวเองอย่างน้อย $2$ คนและอย่างมาก $3$ คน

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจำนวนแซมเปิลสเปซ $n(S)$[/STEP]

การนับจำนวนวิธิที่นักศึกษา $5$ คน หยิบนักนักศึกษา $5$ ใบ

เปรียบเหมือนให้นักศึกษาแต่ละคนยืนอยู่กับที่ แล้วเอาบัตร $5$ ใบมาเรียงสับเปลี่ย

จะได้ทั้งหมด $5!$

หรืออีกวิธีคือการมองว่าให้หยิบบัตรขึ้นมาที่ละคน

คนแรกจะเลือกหยิบได้ $1$ ใบจาก $5$ ใบ คิดเป็น $5$ วิธี

คนที่สองจะเลือกหยิบได้ $1$ ใบจาก $4$ ใบ คิดเป็น $4$ วิธี

คนที่สามจะเหลือบัตรให้เลือก $3$ ใบ เลือกได้ $3$ วิธี

คนที่สี่จะเหลือบัตรให้เลือกได้ $2$ ใบ เลือกได้ $2$ วิธี

คนสุดท้ายไม่มีให้เลือก ได้ $1$ วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ

$$5\times4\times3\times2\times1=5!$$

[STEP]หาจำนวนวิธิที่นักศึกษาหยิบบัตรตรง $2$ คน $n(E_1)$[/STEP]

ขั้นแรกเราจะต้องเลือกก่อนว่า $2$ คนที่หยิบได้บัตรของตัวเองเป็นใคร

จะได้ ${5\choose2}=\frac{5!}{3!2!}$

จากนั้นเรามาดูสามคนที่เหลือจะต้องได้บัตรไม่ตรงกับตัวเองมีกี่วิธี

คนแรกสามารถเลือกบัตร ได้ $2$ วิธี คือบัตรของคนที่ $2$ หรือ บัตรของคนที่ $3$

ถ้าคนแรกเลือกบัตรของคนที่ $2$ จะบังคับให้ คนที่สองต้องเลือกบัตรของคนที่ $3$ และ คนที่สามต้องได้บัตรของคนที่ $1$

ถ้าคนแรกเลือกบัตรของคนที่ $3$ จะบังคับให้ คนที่สามต้องเลือกบัตรของคนที่ $2$ และคนที่สองต้องได้บัตรของคนที่ $1$

ดังนั้นเมื่อคนแรกเลือกบัตรแล้วจะทำให้คนที่สองและสามไม่สามารถเลือกได้อีก

สรุปได้ว่าหลังจากได้คนที่ได้บัตรตรงกับตัวเองแล้ว คนที่เหลือจะมีวิธิการเลือกบัตรได้อีก $2$ วิธีเท่านั้น

จะได้ว่าวิธีทั้งหมดคือ

\begin{eqnarray*}
n(E_1)&=&(\text{เลือกคนที่จะได้บัตรของตัวเอง})\cdot(\text{จำนวนวิธีที่คนที่เหลือสามารถเลือกบัตรได้})\\
&=&{5\choose2}\cdot2\\
&=&\frac{5!}{2!3!}\cdot2\\
&=&\frac{5!}{3!}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจำนวนวิธีที่นักศึกษาหยิบบัตรตรง $3$ คน $n(E_2)$[/STEP]

ขั้นแรกเราจะต้องเลือกก่อนว่า $3$ คนที่หยิบได้บัตรของตัวเองเป็นใคร

จะได้ ${5\choose3}=\frac{5!}{3!2!}$

จากนัั้นอีกสองคนที่เหลือจะต้องได้ไม่ตรงกับของตัวเองซึ่งมีวิธีเดียวคือจะต้องได้สลับกัน

จะได้ว่าวิธีทั้งหมดคือ

\begin{eqnarray*}
n(E_2)&=&(\text{เลือกคนที่จะได้บัตรของตัวเอง})\cdot(\text{จำนวนวิธีที่คนที่เหลือสามารถเลือกบัตรได้})\\
&=&{5\choose3}\cdot1\\
&=&\frac{5!}{2!3!}\\
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจำนวนวิธีที่นักศึกษาหยิบบัตรตรงอย่างน้อยสองคนอย่างมากสามคน $n(E)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
n(E)&=&n(E_1)+n(E_2)\\
&=&\frac{5!}{3!}+\frac{5!}{2!3!}\\
&=&\frac{2\cdot5!+5!}{2!3!}\\
&=&\frac{3\cdot5!}{2!3!}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P(E)&=&\frac{n(E)}{n(S)}\\
&=&\frac{\frac{3\cdot5!}{2!3!}}{5!}\\
&=&\frac{3}{2!3!}\\
&=&\frac{3}{2\times1\times3\times2\times1}\\
&=&\frac{1}{4}\\
&=&0.25
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $0.25$ [/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ความน่าจะเป็นแบบยาก