ให้ $a,b,c$ เป็นสามพจน์เรียงกันของลำดับเรขาคณิตโดยที่ $abc=64$ และ $a,b+3,c+4$ เป็นลำดับเลขคณิต จงหาค่าของ $a+b+c$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาความเป็นลำดับเรขาคณิต[/STEP]

จาก $a,b,c$ เป็นลำดับเรขาคณิตจะได้

\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{b}{r}\\
c&=&b\cdot{r}
\end{eqnarray*}

เมื่อ $r$ คืออัตราส่วนร่วม

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
abc&=&64\\
\frac{b}{r}\cdot{b}\cdot{br}&=&64\\
b^3&=&64\\
b&=&4
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{4}{r}\\
c&=&4r
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาความเป็นลำดับเลขคณิต[/STEP]

จาก $a,b+3,c+4$ เป็นลำดับเลขคณิต

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(b+3)-a&=&(c+4)-(b+3)\\
4+3-\frac{4}{r}&=&4r-4+1\\
10&=&4r+\frac{4}{r}\\
0&=&4r^2-10r+4\\
0&=&2r^2-5r+2\\
0&=&(2r-1)(r-2)\\
\frac12,2&=&r
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $a+b+c$[/STEP]

สังเกตุว่าเราได้ $r$ ออกมาสองค่านำ $r$ แต่ละค่าไปแทนในลำดับที่ต้องการจะได้

$$2,4,8$$

หรือ

$$8,4,2$$

แต่เนื่องจากโจทย์ถามหาผลบวกของทั้งสามพจน์ไม่ว่าเราจะใช้ $r$ เป็นค่าใด จะได้ค่าเท่ากันนั้นคือ

\begin{eqnarray*}
a+b+c&=&2+4+8\\
&=&8+4+2\\
&=&14
\end{eqnarray*}

 

[ANS] 14 [/ANS]


 

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต