ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $x,x+2$ และ $x+6$ เป็นความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม[/STEP]

เนื่องจากเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากจะต้องเป็นด้านที่ยาวที่สุด และเนื่องจากมีความยาวด้านด้านหนึ่งเป็น $x$ แสดงว่า $x$ จะต้องมีค่าเป็นบวก

ดังนั้นด้านที่มีความยาวสูงสุดคือ $x+6$

จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*}
(x+6)^2 & = & x^2 + (x+2)^2\\
x^2+12x+36 & = & x^2+x^2+4x+4\\
x^2-8x-32 & = & 0\\
x & = & 4\pm4\sqrt3
\end{eqnarray*}$$
แต่ $x$ จะต้องมีค่ามากกว่า $0$ ดังนั้น $x=4+4\sqrt{3}$

[STEP]หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม[/STEP]

เนื่องจากเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทำให้ได้ว่า อีกสองด้านที่เหลือที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นความยาวฐานและความสูงพอดี

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการคือ

\begin{eqnarray*}
\frac12(x)(x+2) & = & \frac12(4+4\sqrt3)(6+4\sqrt3)\\
& = & 36+20\sqrt{3}
\end{eqnarray*}

 

[ANS] B [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : คอนจูเกทและการจัดรูปรากที่ 2