ค่าของ $\left(\sqrt{2}-1\right)^{-2}$ เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]เปลี่ยนกำลังติดลบเป็นเศษส่วน แล้วกระจายกำลังสอง[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt{2}-1\right)^{-2} & = & \frac{1}{\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}}\\
& = & \frac{1}{\sqrt{2}^{2}-2\left(\sqrt{2}\right)\left(1\right)+1^{2}}\\
& = & \frac{1}{2-2\sqrt{2}+1}\\
& = & \frac{1}{3-2\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}

[STEP]คูณด้วยคอนจูเกทเพื่อให้ตัวส่วนไม่ติดราก[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3-2\sqrt{2}} & = & \frac{1}{3-2\sqrt{2}}\cdot\frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\\
& = & \frac{3+2\sqrt{2}}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}\\
& = & \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}\\
& = & 3+2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]ประมาณค่า โดยแทนค่า $\sqrt{2}\approx 1.4$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3+2\sqrt{2} & \approx & 3+2\left(1.4\right)\\
& = & 3+2.8\\
& = & 5.8
\end{eqnarray*}

พบว่า $\left(\sqrt{2}-1\right)^{-2}=3+2\sqrt{2}$ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและมีค่าประมาณ $5.8$ แต่เนื่องจากค่าประมาณ $\sqrt{2}\approx 1.414$ ดังนั้นจำนวนนี้จึงมีค่ามากกว่า $5.8$

[ANS]D[/ANS] 

ความรู้ที่ใช้ : คอนจูเกทและการจัดรูปรากที่ 2