ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลำดับจากน้อยไปมากดังนี้

$$1\quad 2\quad x\quad 3\quad 3\quad y\quad 6$$

ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ $3$ และ $\frac{4}{\sqrt{7}}$ ตามลำดับ แล้ว $y-x$ มีค่าเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนสมการจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & \frac{\sum x_{i}}{n}\\
3 & = & \frac{1+2+x+3+3+y+6}{7}\\
21 & = & 15+x+y\\
x+y & = & 6\quad\cdots\left(1\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]เขียนสมการจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
s^{2} & = & \frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{7}\\
\left(\frac{4}{\sqrt{7}}\right)^{2} & = & \frac{\sum\left(x_{i}-3\right)^{2}}{7}\\
\frac{16}{7} & = & \frac{2^{2}+1^{2}+\left(x-3\right)^{2}+0^{2}+0^{2}+\left(y-3\right)^{2}+3^{2}}{7}\\
\left(x-3\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} & = & 2\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการหาค่า $x,y$ และ $y-x$[/STEP]

จากสมการทั้งสองในขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
x+y & = & 6\quad\cdots\left(1\right)\\
\left(x-3\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} & = & 2\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

แก้สมการโดยการแทนค่า $x=6-y$ จาก $(1)$ ลงใน $(2):$

\begin{eqnarray*}
\left(6-y-3\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} & = & 2\\
\left(3-y\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} & = & 2\\
\left(y-3\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2} & = & 2\\
2\left(y-3\right)^{2} & = & 2\\
\left(y-3\right)^{2} & = & 1
\end{eqnarray*}

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
y-3 & = & \pm1\\
y & = & 4,2
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจากข้อมูลที่โจทย์ให้มาเรียงจากน้อยไปหามากอยู่แล้ว ซึ่งทำให้ $y\geq 3$ ดังนั้น $y=4$ เท่านั้น

แทนค่า $y=4$ ลงใน $(1)$ 

\begin{eqnarray*}
x+\left(4\right) & = & 6\\
x & = & 6-4\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$y-x=4-2=2$[/ANS] 


ในการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยทั้งสมการเชิงเส้นและสมการไม่เชิงเส้น ควรใช้วิธีแทนค่าตัวแปรหนึ่งจากสมการเชิงเส้นลงไปในสมการที่เหลือเพื่อกำจัดตัวแปร

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน