ถ้า $2\sin^2\theta+\sin\theta=1$ โดยที่ $0\leq \theta\leq90^{\circ}$ แล้ว $\theta$ เป็นมุมกี่องศา

เฉลยละเอียด

[STEP]มอง $\sin\theta$ เป็นตัวแปรหนึ่งตัวแล้วแยกตัวประกอบ[/STEP]

จาก

$$2\sin^2\theta+\sin\theta=1$$

ให้ $s=\sin\theta$ จะเขียนสมการนี้ได้เป็น

\begin{eqnarray*}
2s^{2}+s & = & 1\\
2s^{2}+s-1 & = & 0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบและหา $s$ ที่เป็นไปได้

\begin{eqnarray*}
2s^{2}+s-1 & = & 0\\
\left(2s-1\right)\left(s+1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $s=\frac12$ หรือ $s=-1$

[STEP]พิจารณาค่า $\theta$ ที่อยู่ในช่วง $0\leq\theta\leq90^{\circ}$[/STEP]

จากที่เคยสมมุติให้ $s=\sin\theta$ จะได้

$\sin\theta=\frac12$ หรือ $\sin\theta=-1$ โดยที่ $0\leq\theta\leq90^{\circ}$

กรณี $\sin\theta=-1$ จะได้ $\theta$ อยู่ในตำแหน่ง $-90^{\circ}$ หรือ $270^{\circ}$

ซึ่งไม่อยู่ในช่วง $0\leq\theta\leq90^{\circ}$ กรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ

กรณี $\sin\theta=\frac12$ จะได้ $\theta$ อยู่ในตำแหน่ง $30^{\circ}$ และ $150^{\circ}$

แต่มีเพียงมุม $30^{\circ}$ เท่านั้นที่อยู่ในช่วง $0\leq\theta\leq90^{\circ}$ ตามที่โจทย์กำหนด

[ANS]$\theta$ มีค่า $30$ องศา[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการตรีโกณมิติ