ถ้า $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง

$$ax^3+bx-4=\left(x+1\right)^2\left(cx+d\right)$$

ทุกจำนวนจริง $x$  แล้ว $(a+b)(c+d)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แทนค่า $x=-1$ และ $x=1$ ในสมการพหุนาม[/STEP]

เนื่องจากสมการ

$$ax^3+bx-4=\left(x+1\right)^2\left(cx+d\right)$$

เท่ากันทุกๆ จำนวนจริง $x$ เราจึงสามารถเลือกแทนค่า $x$ ใดก็ได้สมการก็ยังคงเป็นจริงเสมอ

เลือกแทนค่า $x$ ที่ทำให้สามารถคำนวณหาค่า $a,b,c$ และ $d$ ได้โดยง่าย และตัวเลขไม่มากเกินไปดังนี้

แทน $x=-1$

\begin{eqnarray*}
a\left(-1\right)^{3}+b\left(-1\right)-4 & = & \left(-1+1\right)^{2}\left(c\left(-1\right)+d\right)\\
-a-b-4 & = & \left(0\right)^{2}\left(-c+d\right)\\
-a-b-4 & = & 0\\
-4 & = & a+b
\end{eqnarray*}

จะได้ $a+b=-4$

แทนค่า $x=1$

\begin{eqnarray*}
a\left(1\right)^{3}+b\left(1\right)-4 & = & \left(1+1\right)^{2}\left(c\left(1\right)+d\right)\\
a+b-4 & = & 2^{2}\left(c+d\right)
\end{eqnarray*}

พบว่ามี $a+b$ ในสมการด้วย จึงแทน $a+b=-4$ 

\begin{eqnarray*}
\left(-4\right)-4 & = & 2^{2}\left(c+d\right)\\
-8 & = & 4\left(c+d\right)\\
\frac{-8}{4} & = & c+d\\
-2 & = & c+d
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้ $c+d=-2$

[STEP]คำนวณ $(a+b)\times(c+d)$[/STEP]

แทนค่า $a+b=-4$ และ $c+d=-2$

\begin{eqnarray*}
\left(a+b\right)\left(c+d\right) & = & \left(-4\right)\left(-2\right)\\
& = & 8
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left(a+b\right)\left(c+d\right)=8$[/ANS]

จะเห็นว่าข้อนี้สามารถคำนวณ $(a+b)(c+d)$ ได้โดยที่ไม่ต้องทราบค่าของแต่ละตัวแปร $a,b,c$ และ $d$  แต่อย่างไรก็ตามการคำนวณหาค่าของแต่ละตัวแปรก็ไม่ได้ยากมาก โดยสามารถแทน $x=0$ และ $x=2$ เพิ่มขึ้นอีกสองครั้งเพื่อให้ได้สมการที่ติดตัวแปร $a,b,c$ และ $d$ เพิ่มขึ้นอีกสองสมการ รวมกับของเก่าอีกสองสมการเป็นระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวแปร 4 สมการ ซึ่งสามารถแก้หาคำตอบได้ โดยท้ายที่สุดแล้วจะได้ $a=2$, $b=-6$, $c=2$ และ $d=-4$

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเศษส่วนพหุนาม