ถ้า

$$\left(\sqrt[3]{\frac{81}{16}}\right)^{9}=\left(\sqrt{\frac{27}{8}}\right)^{\frac{1}{x}}$$

และ $y=16x$ แล้ว $y$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนจำนวนที่ฐานให้อยู่ในรูปผลหารของเลขยกกำลัง[/STEP]

จาก $8=2^3$, $27=3^3$, $16=2^4$ และ $81=3^4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt[3]{\frac{81}{16}}\right)^{9} & = & \left(\sqrt{\frac{27}{8}}\right)^{\frac{1}{x}}\\
\left(\sqrt[3]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}\right)^{9} & = & \left(\sqrt{\frac{3^{3}}{2^{3}}}\right)^{\frac{1}{x}}
\end{eqnarray*}

เปลี่ยนรากที่สองเป็นยกกำลัง $\frac12$ และเปลี่ยนรากที่สามเป็นยกกำลัง $\frac13$ แล้วใช้สูตรกำลังซ้อนกันนำกำลังมาคูณกัน

\begin{eqnarray*}
\left(\left(\frac{3^{4}}{2^{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{9} & = & \left(\left(\frac{3^{3}}{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{x}}\\
\left(\frac{3^{4}}{2^{4}}\right)^{\frac{1}{3}\times9} & = & \left(\frac{3^{3}}{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}\times\frac{1}{x}}\\
\left(\frac{3^{4}}{2^{4}}\right)^{3} & = & \left(\frac{3^{3}}{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2x}}
\end{eqnarray*}

สังเกตเห็นว่ากำลังของ 3 และ 2 ที่เป็นฐานตรงเศษและส่วนมีค่าเท่ากัน จึงสามารถรวมเข้าเป็นเทอมเดียวกันได้ และใช้สูตรกำลังซ้อนกันนำกำลังมาคูณกันอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\right)^{3} & = & \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{3}\right)^{\frac{1}{2x}}\\
\left(\frac{3}{2}\right)^{4\times3} & = & \left(\frac{3}{2}\right)^{3\times\frac{1}{2x}}\\
\left(\frac{3}{2}\right)^{12} & = & \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{2x}}
\end{eqnarray*}

[STEP]ปลดฐานที่เท่ากันออก แก้สมการหา $x$ และแทนค่าหา $y$[/STEP]

เนื่องจากฐานของเลขยกกำลังทั้งสองข้างของสมการมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเลขชี้กำลังย่อมต้องเท่ากัน

\begin{eqnarray*}
12 & = & \frac{3}{2x}\\
12\left(2x\right) & = & 3\\
24x & = & 3\\
x & = & \frac{3}{24}\\
x & = & \frac{1}{8}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=\frac18$ หาค่า $y$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
y & = & 16x\\
y & = & 16\left(\frac{1}{8}\right)\\
y & = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$y=2$[/ANS]