ถ้า $x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ และ $y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ แล้ว $x^2+3xy+y^2$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]เขียน $x^2+3xy+y^2$ อยู่ในเทอมของ $(x+y)^2$ เพื่อให้คำนวณง่ายขึ้น[/STEP]

เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า $x=\frac{1}{y}$ ดังนั้น $xy=1$ เราจึงสามารถจัดรูปให้คำนวณสิ่งที่โจทย์ถามง่ายขึ้น

\begin{eqnarray*}
x^{2}+3xy+y^{2} & = & \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)+xy\\
& = & \left(x+y\right)^{2}+xy\\
& = & \left(x+y\right)^{2}+1
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $x+y$ และ $(x+y)^2$ แล้วแทนค่าเพื่อหา $x^2+3xy+y^2$[/STEP]

คำนวณ $x+y$ โดยปรับส่วนให้เท่ากันด้วยการคูณคอนจูเกทของตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
x+y & = & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\
& = & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\
& = & \frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}}{\sqrt{3}^{2}-\sqrt{5}^{2}}+\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^{2}}{\sqrt{3}^{2}-\sqrt{5}^{2}}\\
& = & \frac{\left(3+2\sqrt{15}+5\right)+\left(3-2\sqrt{15}+5\right)}{3-5}\\
& = & \frac{16}{-2}\\
& = & -8
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x+y=-8$ ลงในสมการที่ได้ในขั้นตอนแรก

\begin{eqnarray*}
x^{2}+3xy+y^{2} & = & \left(x+y\right)^{2}+1\\
& = & \left(-8\right)^{2}+1\\
& = & 64+1\\
& = & 65
\end{eqnarray*}

[ANS]$x^2+3xy+y^2=65$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : คอนจูเกทและการจัดรูปรากที่ 2