,

เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า $x=\frac{1}{y}$ ดังนั้น $xy=1$ เราจึงสามารถจัดรูปให้คำนวณสิ่งที่โจทย์ถามง่ายขึ้น

$$\begin{eqnarray*} x^{2}+3xy+y^{2} & = & \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)+xy\\ & = & \left(x+y\right)^{2}+xy\\ & = & \left(x+y\right)^{2}+1 \end{eqnarray*}$$

,

คำนวณ $x+y$ โดยปรับส่วนให้เท่ากันด้วยการคูณคอนจูเกทของตัวส่วน

$$\begin{eqnarray*} x+y & = & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\ & = & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\ & = & \frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}}{\sqrt{3}^{2}-\sqrt{5}^{2}}+\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^{2}}{\sqrt{3}^{2}-\sqrt{5}^{2}}\\ & = & \frac{\left(3+2\sqrt{15}+5\right)+\left(3-2\sqrt{15}+5\right)}{3-5}\\ & = & \frac{16}{-2}\\ & = & -8 \end{eqnarray*}$$

แทนค่า $x+y=-8$ ลงในสมการที่ได้ในขั้นตอนแรก

$$\begin{eqnarray*} x^{2}+3xy+y^{2} & = & \left(x+y\right)^{2}+1\\ & = & \left(-8\right)^{2}+1\\ & = & 64+1\\ & = & 65 \end{eqnarray*}$$