ในการสำรวจวิชาที่นักเรียน 200 คนที่ชอบอย่างน้อยหนึ่งวิชา ปรากฏว่า

  • 130 คน ชอบวิทยาศาสตร์
  • 140 คน ชอบคณิตศาสตร์
  • 80 คน ชอบศิลปะ
  • 100 คน ชอบวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์
  • 30 คน ชอบวิทยาศาสตร์และศิลปะ
  • 50 คน ชอบคณิตศาสตร์และศิลปะ

นักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวมีกี่คน

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรยูเนี่ยนสามเซตหาจำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา[/STEP]

ให้

  • $S$ แทน เซตของนักเรียนที่ชอบวิทยาศาสตร์ 
  • $M$ แทน เซตของนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์
  • $A$ แทน เซตของนักเรียนที่ชอบศิลปะ

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ สามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางเซตได้ดังนี้

  • $n(S\cup M\cup A)=200$
  • $n(S)=130$
  • $n(M)=140$
  • $n(A)=80$
  • $n(S\cap M)=100$
  • $n(S\cap A)=30$
  • $n(M\cap A)=50$

จากสูตรยูเนี่ยนสามเซต แทนค่าจำนวนสมาชิกลงไป

\begin{eqnarray*}
n\left(S\cup M\cup A\right) & = & n\left(S\right)+n\left(M\right)+n\left(A\right)-n\left(S\cap M\right)-n\left(S\cap A\right)-n\left(M\cap A\right)+n\left(S\cap M\cap A\right)\\
200 & = & 130+140+80-100-30-50+n\left(S\cap M\cap A\right)\\
200 & = & 170+n\left(S\cap M\cap A\right)\\
n\left(S\cap M\cap A\right) & = & 200-170\\
n\left(S\cap M\cap A\right) & = & 30
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้จำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา 30 คน

[STEP]วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์[/STEP]

เริ่มเติมจำนวนสมาชิกจากส่วนตรงกลางก่อน (ช่องที่นักเรียนชอบทั้งสามวิชา)

จากนั้นนำข้อมูลอินเตอร์เซคชั่นสองเซตมาลบออกด้วย จำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา

  • $n(S\cap M)=100$ หัก 30 คน ได้ 70 คน
  • $n(S\cap A)=30$ หัก 30 คน ได้ 0 คน
  • $n(M\cap A)=50$ หัก 30 คน ได้ 20 คน

เติมลงในช่องทั้งสาม

 เนื่องจากโจทย์ถามจำนวนนักเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว ซึ่งแผนภาพที่มีอยู่เพียงพอที่จะคำนวณสิ่งที่โจทย์ถามแล้ว โดยการนำ $n(M)=140$ ไปลบด้วยสามส่วนที่ทราบจำนวนแล้ว

ซึ่งจะได้จำนวนนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวเท่ากับ

$$140 - 70 - 30 - 20 = 20$$

[ANS]จำนวนนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวเท่ากับ 20 คน[/ANS]

อย่างไรก็ตามเราสามารถเติมจำนวนสมาชิกจนครบทุกช่องได้ดังนี้

ข้อนี้สามารถมุ่งเป้าไปที่คำตอบได้เลย โดยหลังจากที่หา $n(S\cap M\cap A)=30$ แล้ว ก็คำนวณหา

$$n(M\cap A)-n(S\cap M\cap A)=50-30=20$$

แล้วนำไปบวกกับ $n(S\cap M)$ ได้ สามส่วนสำคัญของ $M$ เพียงพอต่อการนำไปคำนวณสิ่งที่โจทย์ถามแล้ว

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน