สลากชุดหนึ่งมี 12 ใบ มีหมายเลข 1 - 12 กำกับ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบสลากพร้อมกัน 3 ใบให้มีแต้มรวมเป็น 11 และไม่มีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกว่า 6  มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

เฉลยละเอียด

[STEP]นับ $n(S)$[/STEP]

เลือกสลาก 3 ใบพร้อมกัน จากทั้งหมด 12 ใบ จะได้

$$n(S)=\binom{12}{3}$$

[STEP]แจกแจงนับกรณีที่เป็นไปได้ของ $E$[/STEP]

"ผลรวมแต้มเท่ากับ 11 และทุกใบแต้มไม่เกิน 6"
เริ่มจากกรณีที่สามใบที่มีแต้มมากที่สุด แล้วค่อยๆ ลดลงมาเรื่อยๆ

  • 6 5 4 ผลรวมมากไป (ควรลดใบสุดท้ายลงให้ผลรวมเป็น 11)
  • 6 5 0 ไม่มีสลาก 0 จึงเป็นไปไม่ได้ (ควรลดใบที่สองลง แล้วเพิ่มใบที่สาม)
  • 6 4 1
  • 6 3 2
  • 6 2 3 ซ้ำกับกรณีด้านบน (ควรลดใบแรกลง)
  • 5 5 1 มีสลาก 5 ใบเดียว จึงเป็นไปไม่ได้ (ควรลดใบที่สอง เพิ่มใบที่สาม)
  • 5 4 2
  • 5 3 3 มีสลาก 3 ใบเดียว จึงเป็นไปไม่ได้
  • 5 2 4 ซ้ำกับกรณีด้านบน (ควรลดใบแรกลง)
  • 4 5 2 ซ้ำกับกรณีด้านบน (ควรลดใบที่สองลง 2 ครั้ง เพิ่มใบที่สาม)
  • 4 3 4 มีสลาก 4 ใบเดียว จึงเป็นไปไม่ได้  และลดต่อไปไม่ได้แล้ว

จะเห็นว่ามีเพียง 3 กรณีเท่านั้น คือ

  • 6 4 1
  • 6 3 2
  • 5 4 2

ซึ่งไม่ต้องเรียงสับเปลี่ยนเพราะหยิบมาพร้อมๆ กันทั้งสามใบ ดังนั้น

$$n(E)=3$$

[STEP]คำนวณ $P(E)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P\left(E\right) & = & \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}\\
& = & \frac{3}{\binom{12}{3}}\\
& = & \frac{3}{\frac{12!}{9!3!}}\\
& = & \frac{3}{\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}}\\
& = & \frac{3\times3\times2}{12\times11\times10}\\
& = & \frac{3}{220}
\end{eqnarray*}

[ANS]$P(E)=\frac{3}{220}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความน่าจะเป็น