ลำดับเรขาคณิตหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของ 3 พจน์แรกเป็น 23 และ -64 ตามลำดับ  ถ้า $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับนี้แล้ว $r+\frac{1}{r}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]สมมุติตัวแปรเทอมแรก เขียนสมการจากผลคูณและหาค่าเทอมแรก[/STEP]

กำหนดให้ 3 พจน์แรกเรียงตามลำดับเป็นดังนี้

$$\frac{a}{r},a,ar$$

จากผลคูณ 3 พจน์แรกเท่ากับ -64 เขียนสมการ

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{a}{r}\right)\left(a\right)\left(ar\right) & = & -64\\
a^{3} & = & \left(-4\right)^{3}\\
a & = & -4
\end{eqnarray*}

[STEP]เขียนสมการจากผลบวก 3 พจน์แรก แทนค่าเทอมแรกและหา $r+\frac1r$[/STEP]

จากผลบวก 3 พจน์แรกเท่ากับ 23 เขียนสมการ

\begin{eqnarray*}
\frac{a}{r}+a+ar & = & 23\\
a\left(\frac{1}{r}+1+r\right) & = & 23
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=-4$

\begin{eqnarray*}
-4\left(\frac{1}{r}+1+r\right) & = & 23\\
\frac{1}{r}+1+r & = & -\frac{23}{4}
\end{eqnarray*}

ลบทั้งสองข้างด้วย 1

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{r}+1+r-1 & = & -\frac{23}{4}-1\\
r+\frac{1}{r} & = & -\frac{23}{4}-\frac{4}{4}\\
& = & -\frac{27}{4}
\end{eqnarray*}

[ANS]$r+\frac1r=-\frac{27}{4}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต