กำหนดให้สามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ มี $\hat{B}=90^{\circ}$  ให้ $D$ เป็นจุดบนด้าน $AC$ ซึ่งทำให้ $AC$ ตั้งฉากกับ $BD$  ถ้า $AC$ ยาว $25$ หน่วย และ $BD$ ยาว 10 หน่วย  แล้ว $DC$ มีความยาวมากที่สุดกี่หน่วย 

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปประกอบ กำหนดตัวแปรความยาวด้าน[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้

สมมุติให้ด้านตรงข้ามมุม $A$ และ $C$ ยาวด้านละ $a$ และ $c$ หน่วยตามลำดับ และกำหนดให้ $DA$ ยาว $x$ จะได้ว่าด้าน $DC$ ที่เหลือจะยาว $25-x$ หน่วยดังรูปประกอบ

[STEP]ใช้ทฤษฎีบทปิทาโกรัสกับสามเหลี่ยมทั้งสามรูป[/STEP]

จาก $\triangle DBA$ จะได้

$$10^2+x^2=a^2\quad\cdots(1)$$

จาก $\triangle CBD$ จะได้

$$10^2+(25-x)^2=c^2\quad\cdots(2)$$

จากสามเหลี่ยมรูปใหญ่ $\triangle ABC$ ได้

$$a^2+c^2=25^2\quad\cdots(3)$$

[STEP]แก้ระบบสมการกำลังสองโดยการแทนค่า $a^2$ และ $c^2$ ลงในอีกสมการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^{2}+c^{2} & = & 25^{2}\\
\left(x^{2}+10^{2}\right)+\left(10^{2}+\left(25-x\right)^{2}\right) & = & 25^{2}\\
\left(x^{2}+100\right)+\left(100+25^{2}-50x+x^{2}\right) & = & 25^{2}\\
2x^{2}-50x+200 & = & 0\\
x^{2}-25x+100 & = & 0\\
(x-5)(x-20) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $x=5$ หรือ $x=20$  แต่เนื่องจากเราต้องการให้ด้าน $DC$ ยาวที่สุด จึงเลือก $x=5$ จะได้ $DC=20$ ดังรูป

[ANS]20[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้ระบบสมการกำลังสอง