กำหนดให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $\hat{C}=\hat{A}+\hat{B}$  ให้ $D$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB$  ถ้า $\hat{A}=50^{\circ}$ แล้ว $A\hat{D}C$ มีขนาดกี่องศา

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $\hat{C}$[/STEP]

จาก $C=A+B$ และผลรวมมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ $180^{\circ}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A+B+C & = & 180^{\circ}\\
\left(A+B\right)+C & = & 180^{\circ}\\
\left(C\right)+C & = & 180^{\circ}\\
2C & = & 180^{\circ}\\
C & = & 90^{\circ}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $C$ เป็นมุมฉาก

[STEP]วาดรูปประกอบและหามุม $\hat{A}$[/STEP]

วาดรูปใหม่ให้สอดคล้องกับขนาดมุมมากขึ้น

เนื่องจาก $\hat{C}=90^{\circ}$ และ $\hat{A}=50^{\circ}$ แทนค่าลงในสมการที่โจทย์ให้มาจะได้

\begin{eqnarray*}
C & = & A+B\\
90^{\circ} & = & 50^{\circ}+B\\
90^{\circ}-50^{\circ} & = & B\\
B & = & 40^{\circ}
\end{eqnarray*}

[STEP]วาดวงกลมล้อมรอบ $\triangle ABC$ แล้วหามุม $A\hat{D}C$[/STEP]

สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ก็ตามสามารถวาดรูปวงกลมล้อมรอบโดยที่มุมฉากจะเป็นจุดบนวงกลม และด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเสมอ

ใช้กฏที่ว่า มุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน จะมีมุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง  จากรูปมุม $\hat{ADC}$ กับมุม $\hat{B}$ รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\hat{ADC} & = & 2\hat{B}\\
& = & 2\left(40^{\circ}\right)\\
& = & 80^{\circ}
\end{eqnarray*}

[ANS]$80^{\circ}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม