กำหนดให้ $A,B$ และ $C$ เป็นเซตใดๆ ซึ่ง $A\subset B$ 

ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้องบ้าง (ตอบได้มากกว่า 1 ข้อ)

เฉลยละเอียด

[STEP]ในข้อ ก. เปลี่ยน $-C$ เป็น $\cap C^c$[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้ $A\subset B$ เราอินเตอร์เซคทั้งสองข้างด้วย $C^c$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A & \subset & B\\
A\cap C^{c} & \subset & B\cap C^{c}\\
A-C & \subset & B-C
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ ก. ถูกต้อง[/ANS]

[STEP]ข้อ ข. เปลี่ยน $-X$ ไปเป็น $\cap X^c$ แล้วกระจาย $\left(\cdot\right)^c$ เข้าในวงเล็บ[/STEP]

จัดรูปสิ่งที่โจทย์ถามให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\begin{eqnarray*}
\left(C-A\right)^{c} & \subset & \left(C-B\right)^{c}\\
\left(C\cap A^{c}\right)^{c} & \subset & \left(C\cap B^{c}\right)^{c}\\
C^{c}\cup\left(A^{c}\right)^{c} & \subset & C^{c}\cup\left(B^{c}\right)^{c}\\
C^{c}\cup A & \subset & C^{c}\cup B
\end{eqnarray*}

ดังนั้นโจทย์ถามว่า

$$C^{c}\cup A  \subset  C^{c}\cup B$$

ซึ่งเป็นจริง พิสูจน์โดยเริ่มจาก $A\subset B$ และ $\cup C^c$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
A & \subset & B\\
A\cup C^{c} & \subset & B\cup C^{c}\\
C^{c}\cup A & \subset & C^{c}\subset B\\
\left(C-A\right)^{c} & \subset & \left(C-B\right)^{c}
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ ข. ถูกต้อง[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สับเซตและเพาเวอร์เซต การดำเนินการเซต