กำหนดให้ $f(x)=3x+1$ และ

$$\left(f\circ g\right)'(x)=3x^2+1$$

ถ้า $g(0)=1$ แล้ว

$$\int_0^1g(x)dx$$

มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้กฏลูกโซ่คำนวณ $\frac{d}{dx}f\circ g(x)$[/STEP]

จาก $f(x)=3x+1$ จะได้ว่า $f'(x)=3$ ทุกค่า $x$

และโดยกฏลูกโซ่จะได้ 

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)'\left(x\right) & = & \left[f'\left(g\left(x\right)\right)\right]\left[g'\left(x\right)\right]\\
3x^{2}+1 & = & \left[3\right]\left[g'\left(x\right)\right]\\
g'\left(x\right) & = & x^{2}+\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]อินทิเกรทหาค่า $g(x)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
g\left(x\right) & = & \int\left(x^{2}+\frac{1}{3}\right)dx\\
& = & \frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{3}x+c
\end{eqnarray*}

ใช้ $g(0)=1$ เพื่อหาค่าคงตัว $c$ ที่เกิดจากการอินทิเกรต $g(x)$ จะได้

$$1=g\left(0\right)=c$$

ดังนั้น

$$g(x)=\frac{x^3}{3} +\frac{1}{3}x+1$$

[STEP]อินทิเกรตหาค่าที่โจทย์ถาม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}g(x)dx & = & \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{3}x+1\right)dx\\
& = & \left.\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{2}}{6}+x\right|_{0}^{1}\\
& = & \frac{1}{12}+\frac{1}{6}+1\\
& = & \frac{5}{4}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\frac54$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต