กำหนดให้ $f:(-1,1)\rightarrow R$ ที่สอดคล้องกับ 

$$f\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}}-x}{\left|x\right|} & \quad,x<0\\
x^{2}-a & \quad,x>0
\end{cases}$$

โดยที่ $a\in R$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $(-1,1)$ แล้ว $f(0)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้ความต่อเนื่องที่ $x=0$ หาค่า $a$[/STEP]

จากฟังก์ชัน $f$ มีความต่อเนื่องบนช่วง $(-1,1)$ แปลว่าต้องต่อเนื่องที่จุด $x=0$ ด้วยเช่นกัน ดังนั้น

$$f(0)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}f(x)$$

หาค่าลิมิตนี้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) & = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}}-x}{\left|x\right|}\\
& = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{\left|x\right|\sqrt{x+1}-x}{\left|x\right|}
\end{eqnarray*}

เนื่องจากเรากำลังคำนวณลิมิตเข้าใกล้ $0$ ทางซ้าย ดังนั้น $x$ จึงมีค่าน้อยกว่า $0$ จึงได้ว่า $\left|x\right|=-x$ นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{\left|x\right|\sqrt{x+1}-x}{\left|x\right|} & = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{-x\sqrt{x+1}-x}{-x}\\
& = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{-x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{-x}\\
& = & \lim_{x\rightarrow0^{-}}\sqrt{x+1}+1\\
& = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$f(0)=2$[/ANS]

ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องทราบค่าของ $a$ ก็สามารถหาคำตอบได้ และไม่จำเป็นต้องคำนวณค่า$$

\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)

$$อย่างไรก็ตามเราสามารถระบุได้ไม่ยากว่า $a=-2$ 

ความรู้ที่ใช้ : ความต่อเนื่อง เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม ลิมิตติดค่าสัมบูรณ์