กำหนดให้$$

S=\{x\in\mathbb{R}|2^x\log_{2}x+8>2^{x+1}+\log_{2}x^4\}

$$แล้ว เซต $S$ มีจำนวนสมาชิกที่เป็นจำนวนเต็มซึ่งน้อยกว่า $20$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปแยกตัวประกอบในอสมการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
2^{x}\log_{2}x+8 & > & 2^{x+1}+\log_{2}x^{4}\\
2^{x}\left(\log_{2}x-2\right)+4\left(2-\log_{2}x\right) & > & 0\\
\left(2^{x}-4\right)\left(\log_{2}x-2\right) & > & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งสามารถแบ่งได้เป็น $2$ กรณี คือ

  • กรณี $2^x-4>0$ และ $\log_2 x-2>0$ ทั้งคู่
  • กรณี $2^x-4<0$ และ $\log_2 x-2<0$ ทั้งคู่

[STEP]กรณี $2^x-4>0$ และ $\log_ x-2>0$[/STEP]  

\begin{eqnarray*}
2^{x}-4 & > & 0\\
2^{x} & > & 2^{2}\\
x & > & 2
\end{eqnarray*}

และ 

\begin{eqnarray*}
\log_{2}x-2 & > & 0\\
\log_{2}x & > & 2\\
\log_{2}x & > & \log_{2}4\\
x & > & 4
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่ออินเตอร์เซคกันแล้วจะได้ $x>4$

[STEP]กรณี $2^x-4<0$ และ $\log_x-2<0$[/STEP]

เซตที่ได้จะตรงข้ามกัน

$$x<2\quad\wedge\quad x<4$$

ซึ่งเมื่ออินเตอร์เซคกันแล้วจะได้ $x<2$

ตรวจสอบโดเมนของฟังก์ชันในอสมการนี้พบว่า $x>0$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบได้

ดังนั้น $S=(0,2)\cup (4,\infty)$ 

และคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า $20$ คือ

$$1,5,6,7,8,\cdots, 19$$

[ANS]มี $16$ ตัว [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการลอการิทึม