กำหนดระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
\log_{2}x+\log_{4}y+\log_{4}z & = & 2\\
\log_{3}y+\log_{9}z+\log_{9}x & = & 2\\
\log_{4}z+\log_{16}x+\log_{16}y & = & 2
\end{eqnarray*}

ถ้า $x=a$, $y=b$ และ $z=c$ เป็นคำตอบของระบบสมการดังกล่าว แล้ว $6a+8b-3c$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการ[/STEP]

คูณตลอดแต่ละสมการด้วย $\log 2$, $\log 3$ และ $\log 4$

\begin{eqnarray*}
\log x+\frac{1}{2}\log y+\frac{1}{2}\log z & = & 2\log2\\
\frac{1}{2}\log x+\log y+\frac{1}{2}\log z & = & 2\log3\\
\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{2}\log y+\log z & = & 2\log4
\end{eqnarray*}

คูณด้วยสอง ตลอดทุกสมการ

\begin{eqnarray*}
2\log x+\log y+\log z & = & 4\log2\\
\log x+2\log y+\log z & = & 4\log3\\
\log x+\log y+2\log z & = & 4\log4
\end{eqnarray*}

[STEP]เปลี่ยนเป็นสมการเมทริกซ์[/STEP]

$$\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\log x\\
\log y\\
\log z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
4\log2\\
4\log3\\
8\log2
\end{array}\right]$$

[STEP]แก้ระบบสมการโดยการดำเนินการตามแถว[/STEP]

$$\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{array}\left|\begin{array}{c}
4\log2\\
4\log3\\
8\log2
\end{array}\right.\right]$$

$$\overrightarrow{-\frac{1}{2}R_{1}+R_{2}}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
0 & 1.5 & 0.5\\
1 & 1 & 2
\end{array}\left|\begin{array}{c}
4\log2\\
4\log3-2\log2\\
8\log2
\end{array}\right.\right]$$

$$\overrightarrow{-\frac{1}{2}R_{1}+R_{3}}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
0 & 1.5 & 0.5\\
0 & 0.5 & 1.5
\end{array}\left|\begin{array}{c}
4\log2\\
4\log3-2\log2\\
6\log2
\end{array}\right.\right]$$

$$\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{3}}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
0 & 0.5 & 1.5\\
0 & 1.5 & 0.5
\end{array}\left|\begin{array}{c}
4\log2\\
6\log2\\
4\log3-2\log2
\end{array}\right.\right]$$

$$\overrightarrow{-3R_{2}+R_{3}}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1\\
0 & 0.5 & 1.5\\
0 & 0 & -4
\end{array}\left|\begin{array}{c}
4\log2\\
6\log2\\
4\log3-20\log2
\end{array}\right.\right]$$

เปลี่ยนกลับมาเป็นสมการได้

\begin{eqnarray*}
\log z & = & 5\log2-\log3\\
\log y & = & 3\log3-3\log2\\
\log x & = & \log2-\log3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=\frac{2}{3}$, $y=\frac{27}{8}$, $z=\frac{32}{3}$ และ

$$6a+8b-3c=4+27-32=-1$$

[ANS]$ -1$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎของคราเมอร์ ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์