,

$$\begin{eqnarray*} \left(\log_{10}ab\right)\left(\log_{a}10b\right)\left(\log_{b}10a\right) & = & 0\\ \left(\frac{\log a+\log b}{\log10}\right)\left(\frac{\log 10b}{\log a}\right)\left(\frac{\log 10a}{\log b}\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$$

แบ่งเป็น $3$ กรณี

,

หรือ $a=\frac{1}{b}$
แทนค่าลงในส่วนที่โจทย์ถาม

$$\begin{eqnarray*} \left(\log_{10}1\right)+\left(\log_{\frac{1}{b}}10b\right)+\left(\log_{b}\frac{10}{b}\right) & = & 0-\log_{b}10-\log_{b}b+\log_{b}10-\log_{b}b\\ & = & -2 \end{eqnarray*}$$

,

หรือ $b=\frac1{10}$
แทนค่าลงในส่วนที่โจทย์ถาม 

$$\begin{eqnarray*} \left(\log_{10}\frac{a}{10}\right)+\left(\log_{a}1\right)+\left(\log_{\frac{1}{10}}10a\right) & = & \left(\log a-1\right)+0-\left(1+\log a\right)\\ & = & -2 \end{eqnarray*}$$

,

หรือ $a=\frac1{10}$
ซึ่งจะได้ $-2$ เหมือนกับกรณีด้านบน

จะได้ว่า ไม่ว่าจะกรณีไหน คำตอบก็ยังคงเท่ากับ $-2$ อยู่ดี จึงตอบ $-2$