ให้

$$x_1x_2x_3,\cdots,x_{2556}$$

เป็นรากที่ $2557$ ที่ไม่ใช่ $1$ ของ 1 จงหาค่าของ

$$(x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)\cdots(x_{2556}+1)$$

เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนสมการที่มี $x_1,\cdots,x_{2556}$ เป็นคำตอบ[/STEP]

$x_1$, $x_2$, $x_3$,$\cdots$, $x_{2556}$ เป็นคำตอบของสมการ $$x^{2557}=1$$ เพราะว่าเป็นรากที่ $2557$ ของ $1$

เขียนพหุนาม $x^{2557}-1=0$ ให้อยู่ในรูปของผลคูณของคำตอบ

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_{2556})\cdot (x-1)=0$$

พหุนามทั้งสองมีสัมประสิทธิ์ของเทอมที่มีดีกรีสูงสุดเท่ากันแล้ว และเป็นสมการที่มีคำตอบเหมือนกันทุกประการ ดังนั้นพหุนามทั้ง 2 จึงเท่ากัน

$$x^{2557}-1=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{2556})(x-1)$$

[STEP]แยกตัวประกอบ $x^{2557}-1$ โดยใช้ผลรวมอนุกรมเรขาคณิต[/STEP]

อนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $r=x$ และมี $a_1=1$ คือ

$$1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2556}=\frac{1-x^{2557}}{1-x}$$

แทนค่าและตัด $(x-1)$ ทั้งสองข้างทิ้ง

\begin{eqnarray*}
x^{2557}-1&=&(1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{2556})(x-1)\\
(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2556})(x-1) &=& (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_{2556})(x-1)\\
1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{2556}&=&(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdots(x-x_{2556})
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $x=-1$[/STEP]

จะได้สิ่งที่โจทย์ถามพอดี

\begin{eqnarray*}
1+\left(-1\right)+\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)^{3}+\cdots+\left(-1\right)^{2556} & = & \left(-1-x_{1}\right)\left(-1-x_{2}\right)\left(-1-x_{3}\right)\cdots\left(-1-x_{2556}\right)\\
1 & = & \left(-1\right)^{2556}\left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right)\left(1+x_{3}\right)\cdots\left(1+x_{2556}\right)
\end{eqnarray*}

[ANS]$1$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต