ให้

$$A=\left\{ \emptyset,x,\left\{ \emptyset,x\right\} \right\},\\
B=\left\{ P\left(A\right)\right\} \cup P\left(A\right)$$

และ $C$ เป็นสับเซตของ $B$ ซึ่ง

$$B\cap \left\{C\right\}\neq\emptyset$$

แล้วจะมีเซต $C$ ที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่เซต

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $C$ ลดความซับซ้อนของเงื่อนไขลง[/STEP]

พิจารณาว่า ถ้า $B\cap \{C\}\neq \emptyset$  แล้วทางเดียวที่เป็นไปได้ คือ $C\in B$

ดังนั้น $C$ ที่เราไม่ต้องการนับรวมมาด้วย คือ $C\subset B$ และ $C\in B$ และพบว่าจากเงื่อนไขหลังมีจำนวนที่เป็นไปได้น้อยกว่า คือ $9$ ตัวเท่านั้น

[STEP]นับจำนวน $C\in B$ ซึ่ง $C\subset B$ ด้วย[/STEP]

แจกแจงสมาชิกของเซต $B$ ดังนี้ 

$$B=\left\{ \emptyset,\left\{ x\right\} ,\left\{ \emptyset\right\} ,\left\{ \left\{ x,\emptyset\right\} \right\} ,\left\{ x,\emptyset\right\} ,\left\{ x,\left\{ x,\emptyset\right\} \right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ x,\emptyset\right\} \right\} ,A,P\left(A\right)\right\} $$

จากนั้นตรวจสอบสมาชิกทีละตัวว่าเป็นสับเซตของ $B$ เองด้วยหรือไม่ และพบว่ามีเพียง

  • $\emptyset$
  • $\{\emptyset\}$
  • $\{\{P(A)\}\}$
  • $\{\emptyset, \{x,\emptyset\}\}$
  • $P(A)$ 

ที่เป็นสับเซตของ $B$ เองด้วย ซึ่งมีทั้งหมด $5$ ตัว

[STEP]คำนวณจำนวน $C\subset B$ แต่ $C\notin B$[/STEP]

สับเซตของ $B$ มีทั้งหมด $2^{n(B)}=2^9$ และมี $5$ ตัวที่เราไม่ต้องการนับรวมด้วย ดังนั้นจำนวนเซตที่เราต้องการนับ คือ $2^9-5$ เซต

[ANS]$2^9-5$ เซต[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์เซตที่ใช้เทคนิคการนับการนับ สับเซตและเพาเวอร์เซต