จงหา $\frac{dy}{dx}$ เมื่อกำหนดให้$$

y=\log_35x+\text{sech}\left(\sqrt{x}\right)

$$และ$$

x=\frac{3^{\sin{t}}}{\ln 10}

$$

เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนกฏลูกโซ่ที่ต้องใช้[/STEP]

โดยกฏลูกโซ่จะได้

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$$

[STEP]คำนวณ $\frac{dy}{dx}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} & = & \frac{d}{dx}\left[\log_{3}5x+\text{sech}\sqrt{x}\right]\\
& = & \frac{d}{dx}\log_{3}5x+\frac{d}{dx}\text{sech}\sqrt{x}\\
& = & \frac{d}{dx}\frac{\ln5x}{\ln3}-\text{sech}\sqrt{x}\tanh\sqrt{x}\cdot\frac{d}{dx}\sqrt{x}\\
& = & \frac{1}{\ln3}\cdot\frac{1}{5x}\cdot\frac{d}{dx}5x-\text{sech}\sqrt{x}\tanh\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = & \frac{1}{x\ln3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{sech}\sqrt{x}\tanh\sqrt{x}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\frac{dx}{dt}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dt} & = & \frac{d}{dt}\left[\frac{3^{\sin t}}{\ln10}\right]\\
& = & \frac{1}{\ln10}\cdot\frac{d}{dt}3^{\sin t}\\
& = & \frac{1}{\ln10}\cdot3^{\sin t}\cdot\ln3\cdot\frac{d}{dt}\sin t\\
& = & \frac{\ln3}{\ln10}\cdot3^{\sin t}\cdot\cos t\\
& = & \left(\log3\right)3^{\sin t}\cos t
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $\frac{dy}{dx}$ และ $\frac{dx}{dt}$ ในกฏลูกโซ่ที่เขียนไว้[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dt} & = & \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\\
& = & \left[\frac{1}{x\ln3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{sech}\sqrt{x}\tanh\sqrt{x}\right]\cdot\left[\left(\log3\right)3^{\sin t}\cos t\right]
\end{eqnarray*}



ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่