,

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sqrt{1-\sin3x}}{\pi x}& = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sqrt{1-\sin3x}}{\pi x}\cdot\frac{1+\sqrt{1-\sin3x}}{1+\sqrt{1-\sin3x}}\\
& = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\left(1-\sin3x\right)}{\pi x\left(1+\sqrt{1-\sin3x}\right)}\\
& = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{\pi x\left(1+\sqrt{1-\sin3x}\right)}
\end{eqnarray*}

,

$$\lim_{3x\rightarrow0}\frac{\sin 3x}{3x}=1$$

โดยคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $3$

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{3}{3}\cdot\frac{\sin3x}{\pi x\left(1+\sqrt{1-\sin3x}\right)} & = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{3}{\pi}\cdot\lim_{3x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{3x}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{1+\sqrt{1-\sin3x}}\\
& = & \frac{3}{\pi}\cdot\left(1\right)\cdot\frac{1}{2}\\
& = & \frac{3}{2\pi}
\end{eqnarray*}