ข้อใดกล่าวได้ถูกต้องเกี่ยวกับ

$$\lim_{x\rightarrow2} \left(  \dfrac{2}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{8}{x^2-4} \right)$$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปลิมิต[/STEP]

สังเกตว่าตัวส่วนของทั้ง $3$ พจน์ คือ $x-2, x+2$ และ $x^2 - 4$ นั้นสามารถทำให้เป็น $x^2 - 4$ เหมือนกันทั้งหมดได้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{8}{x^2 - 4} \right) &=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x-2}{x-2} - \frac{8}{x^2 - 4} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{2(x+2) + 1 (x-2) - 8}{x^2 - 4} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{2x + 4 + x - 2 - 8}{x^2 - 4} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{3x - 6}{x^2 - 4} \right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แยกตัวประกอบเพื่อตัด $x - 2$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{3x - 6}{x^2 - 4} \right) &=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{3(x - 2)}{(x-2)(x+2)} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{3(\cancel{x - 2})}{(\cancel{x-2})(x+2)} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{3}{x+2} \right)\\
&=& \frac{3}{4}
\end{eqnarray*}

[ANS]มีค่าเท่ากับ $\dfrac34$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตในรูปแบบไม่กำหนด