ค่าของ $\tan \left( \dfrac{\pi}{4} + \arcsin\left( -\dfrac35\right) \right)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสูตร $\tan$ ของผลบวกของมุม[/STEP]

จาก $\displaystyle \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\tan \left( \frac{\pi}{4} + \arcsin\left( -\frac35\right) \right) &=& \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}\\
&=& \frac{1 + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่าของ $\displaystyle \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]$[/STEP]

จาก $\displaystyle arcsin\left( -\frac35\right)$ สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

แต่เนื่องจากเป็น $\arcsin$ ติดลบ จึงเป็นมุมในควอดรันต์ที่ $4$

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ] &=& \tan \left [ \arctan\left( -\frac34\right) \right ]\\
&=& -\frac34
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่ากลับเพื่อหาคำตอบ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\tan \left( \frac{\pi}{4} + \arcsin\left( -\frac35\right) \right) &=& \frac{1 + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}\\
&=& \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}}\\
&=& \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}\\
&=& \frac17
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac17$[/ANS]