,

จาก $\displaystyle \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

เราจึงได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \tan \left( \frac{\pi}{4} + \arcsin\left( -\frac35\right) \right) &=& \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}\\ &=& \frac{1 + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]} \end{eqnarray*}$$

,

จาก $\displaystyle arcsin\left( -\frac35\right)$ สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

แต่เนื่องจากเป็น $\arcsin$ ติดลบ จึงเป็นมุมในควอดรันต์ที่ $4$

เราจึงได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ] &=& \tan \left [ \arctan\left( -\frac34\right) \right ]\\ &=& -\frac34 \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \tan \left( \frac{\pi}{4} + \arcsin\left( -\frac35\right) \right) &=& \frac{1 + \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}{1 - \tan \left [ \arcsin\left( -\frac35\right) \right ]}\\ &=& \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}}\\ &=& \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}\\ &=& \frac17 \end{eqnarray*}$$