กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
ax + 2y - 2z &=& -1\\
x + y - z &=& 0\\
2x + y + 2z &=& 2
\end{eqnarray*}

มีเพียงคำตอบเดียว ข้อใดคือเซต $S$

เฉลยละเอียด

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จากระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
ax + 2y - 2z &=& -1 &----& (1)\\
x + y - z &=& 0 &----& (2)\\
2x + y + 2z &=& 2 &----& (3)
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยคูณ $2$ เข้าไปที่สมการ $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2x + 2y - 2z &=& 0 &----& (4)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(1) - (4)$

\begin{eqnarray*}
(ax + 2y - 2z) - (2x + 2y - 2z) &=& -1 - 0\\
(ax + \cancel{2y} - \cancel{2z}) - (2x + \cancel{2y} - \cancel{2z}) &=& -1\\
ax - 2x &=& -1\\
(a-2)x &=& -1
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ว่า $$\displaystyle x = -\frac{1}{a-2}$$

[STEP]พิจารณาคำตอบของระบบสมการ[/STEP]

เนื่องจากทั้งสามสมการเป็นสมการเชิงเส้น แสดงว่าถ้าเราวาดกราฟของระบบสมการ จะได้เป็นเส้นตรง $3$ เส้น ตัดกันที่จุดเดียว

นั่นหมายความว่าเราจะแก้ระบบสมการได้เพียงคำตอบเดียวเสมอ (ยกเว้นกรณีที่ทุกสมการเป็นสมการเดียวกัน)

และจาก $\displaystyle x = -\frac{1}{a-2}$

เราจึงได้ว่า $a \neq 2$ ก็เพียงพอแล้วที่จะได้คำตอบของระบบสมการ $1$ คำตอบ

[ANS]$(-\infty , 2) \cup (2, \infty)$[/ANS]

จริงๆ ข้อนี้โจทย์น่าจะตั้งใจให้เราใช้กฎของเครเมอร์ในการแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์ ซึ่งเมื่อเราเปลี่ยนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ จะได้ดังนี้

$$\displaystyle \left [ \begin{array}{ccc} a & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right ]$$

การแก้ระบบสมการจะสามารถทำได้เมื่อ $\displaystyle \det \left(  \left [ \begin{array}{ccc} a & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]  \right) \neq 0$

พอเราหา $\displaystyle \det \left(  \left [ \begin{array}{ccc} a & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]  \right) = 3a - 6$ จึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
3a - 6 &\neq& 0\\
3a &\neq& 6\\
a &\neq& 2
\end{eqnarray*}

แต่ถ้าสังเกตสมการดีๆ จะเห็นว่าแค่เอาสมการลบกันก็ได้คำตอบแล้ว เร็วกว่าใช้เมทริกซ์เยอะเลย

ความรู้ที่ใช้ : การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์