กำหนดให้ $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ ซึ่ง $\left| \vec{u} \right| = \sqrt{5}$ และ $\left| \vec{v} \right| = \sqrt{3}$ แล้วค่าของ $\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|^2 + \left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสูตรการดอทและการครอสเวกเตอร์[/STEP]

จาก $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ และ $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\vec{u} \cdot \vec{v} &=& (\sqrt{5}) (\sqrt{3}) \cos \theta\\
&=& \sqrt{15} \cos \theta
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
|\vec{u} \times \vec{v}| &=& (\sqrt{5}) (\sqrt{3}) \sin \theta\\
&=& \sqrt{15} \sin \theta
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

แทนค่าหาคำตอบ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|^2 + \left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2 &=& |\sqrt{15} \cos \theta|^2 + |\sqrt{15} \sin \theta|^2\\
&=& 15 \cos^2 \theta + 15 \sin^2 \theta\\
&=& 15(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)
\end{eqnarray*}

จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|^2 + \left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2 &=& 15(1)\\
&=& 15
\end{eqnarray*}

[ANS]$15$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท การครอสเวกเตอร์