กำหนดให้ $\displaystyle A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & -\sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3} \end{bmatrix}$

และ $S = \{ 1, 2, 3, ..., 100 \}$

ถ้าสุ่มสมาชิก $1$ ตัว จากเซต $S$ แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนนับ $k$ ซึ่ง $A^k = I$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการคูณเมทริกซ์[/STEP]

เมทริกซ์ในข้อนี้อยู่ในรูป $\displaystyle \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix}$

ถ้านำมาคูณกันจะได้

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos y & - \sin y \\ \sin y & \cos y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & - \cos x \sin y - \sin x \cos y \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & - \sin x \sin y + \cos x \cos y \end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & - (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

ซึ่งตรงกับเอกลักษณ์ตรีโกณคือ

\begin{eqnarray*}
\cos x \cos y - \sin x \sin y &=& \cos (x+y)\\
\sin x \cos y + \cos x \sin y &=& \sin (x+y)
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ผลคูณเมทริกซ์คือ

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos y & - \sin y \\ \sin y & \cos y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \cos (x+y) & - \sin (x+y) \\ \sin (x+y) & \cos (x+y) \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

ข้อสังเกตคือเมทริกซ์ยังอยู่ในรูปแบบเดิม แต่เป็นการนำมุมมาบวกกันเท่านั้น

[STEP]พิจารณาการยกกำลังเมทริกซ์[/STEP]

จากผลคูณเมทริกซ์ในขั้นตอนที่แล้ว แสดงว่าหากเราทำการยกกำลังเมทริกซ์ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^2 &=& \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \cos 2x & - \sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^3 &=& \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^2 \cdot \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \cos 3x & - \sin 3x \\ \sin 3x & \cos 3x \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^4 &=& \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^3 \cdot \begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \cos 4x & - \sin 4x \\ \sin 4x & \cos 4x \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

เป็นอย่างนี้ต่อไปเรื่อยๆ จึงสรุปได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \cos x & - \sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} ^k &=& \begin{bmatrix} \cos kx & - \sin kx \\ \sin kx & \cos kx \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ถ้านำเมทริกซ์ $A$ มายกกำลัง จะได้

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & - \sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3} \end{bmatrix} ^k &=& \begin{bmatrix} \cos \frac{k \pi}{3} & - \sin \frac{k \pi}{3} \\ \sin \frac{k \pi}{3} & \cos \frac{k \pi}{3} \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $k$ ที่ทำให้ $A^k = I$[/STEP]

เมทริกซ์ $I$ คือ $\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

แสดงว่าเราต้องการให้ $\displaystyle \cos \frac{k \pi}{3} = 1$ และ $\displaystyle \sin \frac{k \pi}{3} = 0$

ซึ่งจะเป็นจริงเมื่อ $\displaystyle \frac{k \pi}{3} = 2 n \pi$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\frac{k \pi}{3} &=& 2n \pi \\
k \pi &=& 6 n \pi\\
k &=& 6n
\end{eqnarray*}

แต่โจทย์กำหนดให้เราเลือกจำนวนนับ $k$ จาก $S = \{ 1, 2, 3, ..., 100 \}$

นั่นคือ $$k = 6, 12, 18, ..., 96$$

เป็นลำดับเลขคณิต หาจำนวนพจน์ได้เป็น

\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1 + (n - 1)d\\
96 &=& 6 + (n-1)(6)\\
\cancelto{15}{90} &=& (n-1)(\cancel{6})\\
16 &=& n
\end{eqnarray*}

ดังนั้น มี $k$ ทั้งหมด $16$ จำนวนที่ทำให้ $A^k = I$

[STEP]หาความน่าจะเป็น[/STEP]

เราสุ่มจำนวนนับทั้งหมด $100$ จำนวน มีจำนวนนับที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $16$ จำนวน

ความน่าจะเป็นคือ

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{16}{100}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\dfrac{16}{100}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความน่าจะเป็น สูตรผลรวมและผลต่างมุม ตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย การบวกลบและการคูณเมทริกซ์